حساب معدل الفائدة بالرياضيات المالية

المبلغ المستثمر يحقق فائدة مركبة تبلغ 1200 دولار في السنة الثانية و 1260 دولار في السنة الثالثة. ما هو معدل الفائدة؟

لنحسب معدل الفائدة، نستخدم الصيغة لحساب الفائدة المركبة:

$A = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي بعد فترة الاستثمار.
• $P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال).
• $r$ هو معدل الفائدة السنوي.
• $n$ هو عدد مرات الاحتساب في السنة.
• $t$ هو عدد السنوات.

في هذه المسألة، نعرف أن $A_2 = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{2n} = P + 1200$ و $A_3 = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{3n} = P + 1260$.

للحل، يمكننا حل هذين المعادلتين معًا للعثور على قيمة $r$.

$P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{2n} = P + 1200$

$P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{3n} = P + 1260$

بعد حساب القيم، يمكننا استخدام الصيغة:

$r = n \times \left(\left(\frac{A_2}{P}\right)^{\frac{1}{2n}} – 1\right)$

$r = n \times \left(\left(\frac{A_3}{P}\right)^{\frac{1}{3n}} – 1\right)$

حيث $n$ هو عدد مرات الاحتساب في السنة. من خلال حساب هذه القيم، يمكننا العثور على معدل الفائدة المطلوب.

لنقم بحل المسألة بتفصيل أكبر والتطرق إلى القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة تتعلق بحساب معدل الفائدة باستخدام صيغة الفائدة المركبة. الصيغة العامة للفائدة المركبة هي:

$A = P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}$

حيث:

• $A$ هو المبلغ النهائي بعد فترة الاستثمار.
• $P$ هو المبلغ الأصلي (رأس المال).
• $r$ هو معدل الفائدة السنوي.
• $n$ هو عدد مرات الاحتساب في السنة.
• $t$ هو عدد السنوات.

في هذه المسألة، نعلم أن الفائدة المركبة للسنة الثانية ($A_2$) هي $P + 1200$ وللسنة الثالثة ($A_3$) هي $P + 1260$. لذا، نحصل على المعادلات التالية:

$P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{2n} = P + 1200$

$P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{3n} = P + 1260$

لحل هذه المعادلات، نقوم بتجميع المعادلتين باستخدام الخوارزمية الرقمية والجبر:

$P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{2n} – P – 1200 = 0$

$P \times \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{3n} – P – 1260 = 0$

ثم نقوم بحساب القيم العددية باستخدام الأسلوب الرقمي مثل طريقة Newton-Raphson أو باستخدام الحاسبة الرقمية.

القوانين المستخدمة في الحل هي قوانين الرياضيات والجبر، وتحديداً قوانين حساب الفائدة المركبة. يتطلب الحل استخدام مفاهيم الجبر والحساب التفاضلي والتكاملي، حسب الحاجة.