حساب معدل التفريغ بفعل تسرب الماء

تأخذ مضخة معينة 2 ساعة لملء خزان بالماء. ولكن بسبب وجود تسرب، استغرقت عملية الملء 3 و 1/3 ساعة. يرغب المستفسر في معرفة الفترة الزمنية التي يستغرقها التسرب لتفريغ الماء من الخزان بالكامل.

لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام معدل العمل. إذا كانت المضخة تملأ الخزان بسرعة واحدة، والتسرب يفرغه بنفس السرعة، فإن المعدل المركب لعملية الملء والتفريغ مجتمع هو العكس تمامًا للمعدل المركب لكل عملية على حدة.

لنقم بحساب معدل عملية الملء:
$معدل \, الملء = \frac{العمل}{الزمن} = \frac{1}{2} \, خزان/الساعة$

والآن لنحسب المعدل المركب لعملية الملء والتفريغ:
$المعدل \, المركب = \frac{1}{معدل \, الملء} + \frac{1}{معدل \, التفريغ}$

لكننا نعلم أن المعدل المركب لعملية الملء والتفريغ هو العكس تمامًا للمعدل المركب لعملية الملء:
$المعدل \, المركب = -\frac{1}{3\frac{1}{3}} \, خزان/الساعة$

الآن يمكننا حساب معدل التفريغ:
$\frac{1}{معدل \, التفريغ} = -\frac{1}{3\frac{1}{3}} – \frac{1}{معدل \, الملء}$

بعد حساب القيم، نجد أن معدل التفريغ يساوي:
$معدل \, التفريغ = -\frac{1}{6} \, خزان/الساعة$

الآن، لنحسب الزمن الذي يستغرقه التسرب لتفريغ الخزان بالكامل:
$الزمن = \frac{1}{معدل \, التفريغ} = \frac{1}{-\frac{1}{6}} \, ساعة$

بتبسيط الكسر، نجد أن:
$الزمن = 6 \, ساعات$

إذاً، يستغرق التسرب 6 ساعات لتفريغ الخزان بالكامل.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون معدل العمل وسنقوم بتطبيق مفهوم العمل والزمن المستخدمين في عمليتي الملء والتفريغ.

أولاً، نقوم بحساب معدل عملية الملء. وفقًا لقانون معدل العمل، المعدل يكون عكس الزمن الذي يستغرقه العمل. في هذه الحالة، المعدل يكون:

$معدل \, الملء = \frac{1}{الزمن \, للملء} = \frac{1}{2} \, خزان/الساعة$

الآن، نستخدم فكرة المعدل المركب لعملية الملء والتفريغ. إذا كانت المضخة والتسرب يعملان معًا، فإن المعدل المركب لهما يكون مجموع المعدلين. وإذا كانت تعملان بشكل معاكس، فيكون المعدل المركب هو الفارق بينهما.

$المعدل \, المركب = معدل \, الملء – معدل \, التفريغ$

نستخدم القيم المعروفة لحساب المعدل المركب:

$المعدل \, المركب = \frac{1}{2} – معدل \, التفريغ$

الآن، نستخدم القانون نفسه لحساب معدل التفريغ:

$معدل \, التفريغ = -\frac{1}{3\frac{1}{3}}$

ثم نعيد تعويض هذا المعدل في المعادلة السابقة:

$المعدل \, المركب = \frac{1}{2} + \frac{1}{3\frac{1}{3}}$

بعد حساب القيم، نجد أن المعدل المركب هو:

$المعدل \, المركب = -\frac{1}{6} \, خزان/الساعة$

الخطوة الأخيرة هي حساب الزمن الذي يستغرقه التفريغ باستخدام معدل التفريغ:

$الزمن = \frac{1}{معدل \, التفريغ} = 6 \, ساعات$

تم استخدام قوانين معدل العمل والمعدل المركب، وكذلك قوانين الزمن والعمل في حل هذه المسألة.