حساب معامل الثنائي باستخدام العوامل (مسألة رياضيات)

قيمة معامل الثنائي 16 اختر 5 هي الناتج من تقسيم عدد الطرق التي يمكن فيها اختيار 5 عناصر من بين مجموعة مكونة من 16 عنصرًا. يمكن حساب هذا المعامل باستخدام الصيغة التالية:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

حيث $n!$ يمثل عامل الرجل العظيم للعدد n ويتم حسابه كمضاعفة جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى الوصول إلى n. في هذه الحالة، $16!$ يعبر عن 16 عاملاً.

عليه، الناتج يكون:

$C(16, 5) = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

الآن، لنقم بحساب القيم:

$16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$16-5 = 11$

$11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

الآن، نقوم بتوسيع العبارة:

$C(16, 5) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

الآن يمكن إجراء الإلغاء:

$C(16, 5) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

$C(16, 5) = 4368$

إذا كانت قيمة معامل الثنائي $C(16, 5)$ تساوي 4368.

في هذا السياق، سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل لحساب معامل الثنائي $C(16, 5)$ باستخدام الصيغة العامة:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

أولاً، نقوم بتعريف الرموز والمصطلحات المستخدمة:

• $n!$: تمثل عامل الرجل العظيم للعدد n ويعبر عن ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة حتى الوصول إلى n.
• $k!$: تمثل عامل الرجل العظيم للعدد k.
• $(n-k)!$: تمثل عامل الرجل العظيم للفرق بين n و k.

الآن، سنقوم بتطبيق هذه القوانين:

1. حساب $16!$:
   $16! = 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

2. حساب $5!$:
   $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

3. حساب $(16-5)!$ أو $11!$:
   $11! = 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

الآن، نقوم بتوسيع الصيغة وتبسيطها:

$C(16, 5) = \frac{16!}{5!(16-5)!}$

$C(16, 5) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)}$

تقسيم العوامل المشتركة:

$C(16, 5) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}$

أخيرًا، نقوم بحساب القيمة:

$C(16, 5) = \frac{4368}{1}$

$C(16, 5) = 4368$

القوانين المستخدمة هي قوانين العوامل الشاملة وتقسيم العوامل للتبسيط النهائي للصيغة. يُلاحظ أن هذه القوانين تعتمد على مفهوم العوامل الرجل العظيم وتوفير وسيلة لحساب معاملات الثنائي بشكل فعال.