حساب معاملات توسيع $(x+y)^n$ (مسألة رياضيات)

نريد حساب معامل الطرف $x^2y^4$ في توسيع $(x+y)^6$ باستخدام طريقة الثنائيات. يمكننا استخدام الصيغة التالية لحساب المعامل:

$C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

"Link To Share" هو منصتك التسويقية الشاملة لتوجيه جمهورك إلى كل ما تقدمه بسهولة واحترافية.

• صفحات بروفايل (Bio) عصرية ومخصّصة • تقصير روابط مع تحليلات متقدّمة • إنشاء رموز QR تفاعلية بعلامة تجارية • استضافة مواقع ثابتة وإدارة أكواد • أدوات ويب متنوعة لتنمية أعمالك

ابدأ الآن وارتقِ بمشاريعك!

حيث أن $C(n, k)$ هو عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار $k$ عناصر من بين $n$ عنصر.

بما أننا نبحث عن معامل $x^2y^4$، فإننا بحاجة إلى اختيار $x$ مرتين من الأساس $x$ واختيار $y$ أربع مرات من الأساس $y$. لذلك:

$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!}$
$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

الآن سنحسب كل واحدة على حدة:

$C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
$C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

الآن سنقوم بضرب الناتجين معًا للحصول على المعامل النهائي للطرف المطلوب:

$15 \times 15 = 225$

إذاً، المعامل الذي نبحث عنه هو $225$، وهو المعامل للطرف $x^2y^4$ في توسيع $(x+y)^6$.

لحساب المعاملات في توسيع $(x+y)^n$، حيث $n$ هو عدد الأساسين، نستخدم مجموعة من القوانين والتقنيات الجبرية والمعرفية. سنستعرض هنا بعض الخطوات والقوانين التي تستخدم في حل هذا النوع من المسائل.

1. قوانين الأسس والأساسات:

   • قاعدة الضرب في الأسس: $x^m \times x^n = x^{m+n}$
   • قاعدة القوة في الأساس: $(x^m)^n = x^{mn}$

2. قانون الجمع والطرح:

   • في حالة توسيع $(x+y)^n$، يمكن تطبيق قانون الجمع والطرح لتوسيع كل طرف.

3. قانون الكومبيناتوريات:

   • لحساب معاملات الطرف المطلوب في التوسيع، نستخدم قانون الكومبيناتوريات أو الجمع المعرفي للتعبيرات الثنائية.

الآن، دعنا نطبق هذه القوانين على المسألة المطروحة:

نريد حساب معامل الطرف $x^2y^4$ في توسيع $(x+y)^6$.

1. استخدام قانون الكومبيناتوريات:

   • نستخدم الصيغة التالية لحساب المعامل:
     $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
     حيث $C(n, k)$ هو عدد الطرق التي يمكننا من خلالها اختيار $k$ عناصر من بين $n$ عنصر.

2. تطبيق القانون:

   • نريد اختيار $x$ مرتين من الأساس $x$، واختيار $y$ أربع مرات من الأساس $y$، لذا:
     $C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6-2)!}$
     $C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!}$

3. الحساب:

   • نقوم بحساب قيم كل من $C(6, 2)$ و $C(6, 4)$، ثم نضربهما معًا للحصول على المعامل النهائي للطرف المطلوب.

باستخدام هذه القوانين والتقنيات، نستطيع بسهولة حساب المعاملات المطلوبة في توسيعات الأساسين بطريقة فعالة ودقيقة.