حساب معادلة خطية: دليل وافٍ (مسألة رياضيات)

المسألة تتعلق بتمثيل معادلة خط في الفضاء الثنائي. وتُعبّر المعادلة عن الخط كمنتج داخلي لقطعتين: نقطة تمثلها القطعة الأولى ومتجه يمثله القطعة الثانية. الخط المعطى يمثله معادلة التالية:
$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix} \right) = 0$
لحل هذه المعادلة والعثور على الميل $m$ والقطعة $b$، نحتاج إلى استخدام الخواص الجبرية لعمليات الجمع والضرب الداخلي للمتجهات. نبدأ بفك المعادلة:
$\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix} \right) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x + 2 \\ y – 8 \end{pmatrix}$
$= (1)(x + 2) + (3)(y – 8) = x + 2 + 3y – 24 = x + 3y – 22 = 0$
الآن، نقوم بتحويل المعادلة إلى صيغة الخط $y = mx + b$:
$3y = -x + 22$
$y = -\frac{1}{3}x + \frac{22}{3}$
لذا، الزوج المرتب $(m,b)$ يكون $(-\frac{1}{3}, \frac{22}{3})$.

لحل المسألة وتحديد الميل $m$ والقطعة $b$ للخط المعطى، نستخدم المعرفة الأساسية في الجبر الخطي والضرب الداخلي للمتجهات. إليك الخطوات التفصيلية والقوانين المستخدمة في الحل:

1. المعادلة العامة للخط:
   المعادلة العامة للخط في الفضاء الثنائي تُعبر عنها بمعادلة تمثل العلاقة بين نقطة على الخط ومتجه موجه للخط. في هذه المسألة، تعطى المعادلة العامة للخط بواسطة المعادلة:
   $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} – \begin{pmatrix} -2 \\ 8 \end{pmatrix} \right) = 0.$

2. الخواص الجبرية للضرب الداخلي:
   نستخدم خاصية الضرب الداخلي لحساب المعادلة. للمتجهات $\mathbf{u}$ و $\mathbf{v}$، يُعرف الضرب الداخلي بالعلاقة:
   $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2.$

3. تطبيق المعادلة العامة للخط:
   نقوم بتطبيق المعادلة العامة للخط ونفك الضرب الداخلي ونحسبها في الشكل المناسب. ثم نقوم بتحويلها إلى معادلة خط بصيغة $y = mx + b$.

4. التحويل إلى صيغة الخط $y = mx + b$:
   بعد أن نحسب المعادلة في الشكل العام، نقوم بتحويلها إلى صيغة الخط بوضع $y$ بمفرده على جهة واحدة من المعادلة. ثم نحدد الميل $m$ والقطعة $b$.

بناءً على الخطوات المذكورة، نقوم بحساب المعادلة بطريقة صحيحة وتفصيلية لضمان الحصول على الإجابة الصحيحة. الأمثلة والتطبيقات المتعلقة بالخواص الجبرية تعتبر مفيدة أيضًا لفهم العلاقات بين الكميات المختلفة وكيفية التعامل معها في الرياضيات.