حساب معادلة القطع المخروطية بتراكيز محددة (مسألة رياضيات)

نبدأ بإعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

العثور على نتيجة معادلة القطع المخروطية التي تحمل تركيزين على النقطة (0، -5) و (0، 5) على التوالي، وطول المحور الرئيسي لها يبلغ 14.

الحل:

لنجد معادلة القطع المخروطية، نعلم أن معادلة القطع المخروطية الكانونية للقطع الناقصة (ellipse) تكون بالصيغة التالية:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

حيث $2a$ هو طول المحور الرئيسي، و $2b$ هو طول المحور الفرعي. الفوكي (التراكيز) يمكن حسابها من المعادلة التالية:

$c = \sqrt{a^2 – b^2}$

حيث $c$ هو مقدار البعد بين التركيز ومركز القطع المخروطية.

في هذه المسألة، نعلم أن التراكيز تقع على محور $y$ عند (0، -5) و (0، 5). بما أن الفرق بين التركيز ومركز القطع يكون على نفس الشاكلة مع المحور الرئيسي، نقول:

$c = 5$

نعلم أيضاً أن $2a$ (طول المحور الرئيسي) هو 14، لذا $a = 7$. الآن يمكننا استخدام المعادلة لحساب $b$:

$c = \sqrt{a^2 – b^2}$
$5 = \sqrt{7^2 – b^2}$

قم بحساب قيمة $b$ من المعادلة السابقة، ومن ثم استخدمها لبناء المعادلة الكانونية للقطع المخروطية. إليك الحل بأكمله بلغة طبيعية وبناء جمل طويلة:

باستخدام المعلومات المقدمة حول القطع المخروطية، يتعين علينا العثور على معادلتها الكانونية. تعتبر معادلة القطع المخروطية الكانونية للقطع الناقصة (ellipse) هي الأداة المثلى لتحديد تشكيل هذا الجسم الهندسي. بموجب الصيغة، يمكن تمثيل القطع المخروطية بمعادلة عامة تأخذ شكل:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

حيث $2a$ يمثل طول المحور الرئيسي و$2b$ يمثل طول المحور الفرعي. في حالتنا، وبناءً على المعلومات المقدمة، نعلم أن طول المحور الرئيسي هو 14، مما يعني أن $a = 7$. علاوة على ذلك، يمكن حساب البُعد $c$ الذي يُمثل مسافة التراكيز من المعادلة:

$c = \sqrt{a^2 – b^2}$

حيث $c$ هو مقدار البعد بين مركز القطع المخروطية والتركيز. وفي هذه الحالة، نعلم أن التراكيز تقع على محور $y$ عند (0، -5) و (0، 5) على التوالي، مما يعني أن الفارق بين $a$ و $b$ يكون على نفس الشاكلة مع المحور الرئيسي. لذا، نحصل على:

$c = 5$

وباستخدام هذه المعلومات، يمكننا حساب قيمة $b$ عبر حل المعادلة التالية:

$5 = \sqrt{7^2 – b^2}$

حيث يتم التلاعب بالمعادلة للحصول على قيمة $b$، ومن ثم يمكننا بناء المعادلة الكانونية للقطع المخروطية باستخدام القيم المحسوبة.

سنقوم الآن بحساب قيمة $b$ باستخدام المعلومات المتاحة:

$c = \sqrt{a^2 – b^2}$

حيث $c$ هو مسافة التراكيز من مركز القطع المخروطية و$a$ هو نصف طول المحور الرئيسي. وفي هذه المسألة، $c$ هو 5 و$a$ هو 7. لنقم بحساب قيمة $b$:

$5 = \sqrt{7^2 – b^2}$

قم برفع الطرف الأيمن إلى الشكل الرباعي وقم بحساب:

$25 = 49 – b^2$

الآن قم بطرح 49 من الجهتين:

$b^2 = 49 – 25$

$b^2 = 24$

ثم، اطرح الجذر التربيعي من الجهتين للحصول على قيمة $b$:

$b = \sqrt{24}$

يمكن تبسيط الجذر إلى:

$b = 2\sqrt{6}$

الآن أننا حصلنا على قيمة $b$، يمكننا بناء المعادلة الكانونية للقطع المخروطية باستخدام القيم المحسوبة. المعادلة الكانونية تأخذ الشكل التالي:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

وبوضع القيم في المعادلة، نحصل على:

$\frac{x^2}{7^2} + \frac{y^2}{(2\sqrt{6})^2} = 1$

الآن يمكننا تحليل القوانين والمفاهيم التي تم استخدامها في هذا الحل:

1. معادلة القطع المخروطية الكانونية: تم استخدام معادلة القطع المخروطية الكانونية العامة للقطع الناقصة ($\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$) لتمثيل القطع المطلوبة.

2. معادلة مسافة التراكيز: تم استخدام معادلة مسافة التراكيز ($c = \sqrt{a^2 – b^2}$) لحساب قيمة $b$ من المعلومات المعطاة حول التراكيز ومركز القطع المخروطية.

3. التلاعب بالمعادلات: تم استخدام عمليات الجمع والطرح والضرب والقسم لحل المعادلات واستخراج القيم المطلوبة.

4. الرياضيات الجبرية: تم استخدام مفاهيم الرياضيات الجبرية مثل حساب الجذر التربيعي والتعويض في المعادلات للوصول إلى الحل النهائي.

5. تبسيط الجذور: تم استخدام مفهوم تبسيط الجذور لتبسيط النتائج إلى أشكال أكثر قابلية للفهم.

بهذا الشكل، تم استخدام مجموعة من المفاهيم الرياضية والقوانين لحساب قيمة $b$ وبناء المعادلة الكانونية للقطع المخروطية المطلوبة.