حساب معادلة الخط: الميل والنقطة (مسألة رياضيات)

نريد إيجاد معادلة الخط التي لديها ميل يساوي $-7$ وتمر عبر النقطة $(3,0)$. للعثور على المعادلة، يمكننا استخدام صيغة ميل الخط:

$m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$

حيث $(x_1, y_1)$ هي النقطة التي نمر عبرها و$(x_2, y_2)$ هي نقطة أخرى على الخط (والتي في هذه الحالة هي $(3,0)$).

وبما أن الميل $m$ معروف بأنه $-7$ والنقطة المعطاة هي $(3,0)$، يمكننا استخدام الصيغة لحساب $b$.

باستخدام النقطة $(3,0)$ والمعادلة السابقة، نستطيع حساب $b$ عن طريق وضع القيم في المعادلة:

$0 = -7 \times 3 + b$

$0 = -21 + b$

$b = 21$

الآن، بعد أن حصلنا على قيمة $b$، يمكننا حساب $m + b$:

$m + b = -7 + 21 = 14$

لحل المسألة، نستخدم مفهوم الميل والنقطة لإيجاد معادلة الخط. هذه المفاهيم تعتمد على بعض القوانين الأساسية في الجبر والهندسة الرياضية.

1. صيغة ميل الخط (Slope-Intercept Form):
   في الجبر، صيغة ميل الخط تعطينا معلومات حول ميل الخط ونقطة تقاطعه مع محور الإنطلاق (محور y). يكتب الخط بصيغة $y = mx + b$ حيث:

   • $m$ هو الميل (التغير في القيمة الصادرة مقابل التغير في القيمة المستقبلة).
   • $b$ هو قطع المحور على المحور y (القيمة عندما يكون $x=0$).

2. معادلة الميل (Slope Equation):
   الميل يمكن حسابه بواسطة العلاقة:
   $m = \frac{{y_2 – y_1}}{{x_2 – x_1}}$
   حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما نقطتان على الخط.

3. معادلة الخط (Equation of a Line):
   معادلة الخط يمكن تحديدها باستخدام الميل ونقطة على الخط. بعد حساب الميل وتحديد النقطة، يمكن استخدام أي من النقطتين مع الميل لحساب القطعية $b$.

الآن، لنقوم بتطبيق هذه القوانين على المسألة:

نعرف أن الميل $m$ يساوي $-7$ ونقطة على الخط هي $(3,0)$.

نستخدم معادلة الميل لحساب قيمة $b$ باستخدام النقطة المعطاة:

$m = \frac{{y – y_1}}{{x – x_1}}$

$-7 = \frac{{y – 0}}{{x – 3}}$

نواصل الحساب:

$-7(x – 3) = y$

$-7x + 21 = y$

الآن، لدينا معادلة الخط بشكل كامل $y = -7x + 21$. لحساب $m + b$، نجمع قيم $m$ و $b$:

$m + b = -7 + 21 = 14$

هذا هو الحل بالتفصيل الممل، حيث تم استخدام القوانين الأساسية لحساب معادلة الخط وتحديد قيمتها.