مسائل رياضيات

حساب مصفوفة التحويلات والانعكاس (مسألة رياضيات)

اخر تحديث 30/01/2024
1

إذا كانت $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$، فإن مصفوفة ترانسبوز من $\mathbf{A}$ تكون كما يلي:
AT=(acbd).\mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}.
وإذا كان $\mathbf{A}^T = \mathbf{A}^{-1}$، فهذا يعني أنه يتحقق المعادلة:
(acbd)=1ad−bc(d−b−ca).\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.

لحل هذا المعادلة، نحتاج إلى مطابقة المكونات المقابلة في الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة. وبالتالي، نحصل على العلاقات التالية:

مواضيع ذات صلة
  1. $a = \frac{d}{ad – bc}$
  2. $c = \frac{-b}{ad – bc}$
  3. $b = \frac{-c}{ad – bc}$
  4. $d = \frac{a}{ad – bc}$

الآن، لحساب $a^2 + b^2 + c^2 + d^2$، نستخدم العلاقات التي حصلنا عليها لتعويض قيم $a$، $b$، $c$، و $d$، ومن ثم نقوم بالتبسيط.

a2+b2+c2+d2=(dad−bc)2+(−cad−bc)2+(−bad−bc)2+(aad−bc)2=d2(ad−bc)2+c2(ad−bc)2+b2(ad−bc)2+a2(ad−bc)2=a2+b2+c2+d2(ad−bc)2.\begin{aligned} a^2 + b^2 + c^2 + d^2 &= \left(\frac{d}{ad – bc}\right)^2 + \left(\frac{-c}{ad – bc}\right)^2 + \left(\frac{-b}{ad – bc}\right)^2 + \left(\frac{a}{ad – bc}\right)^2 \\ &= \frac{d^2}{(ad – bc)^2} + \frac{c^2}{(ad – bc)^2} + \frac{b^2}{(ad – bc)^2} + \frac{a^2}{(ad – bc)^2} \\ &= \frac{a^2 + b^2 + c^2 + d^2}{(ad – bc)^2}. \end{aligned}

من المعادلة السابقة، يتبين لنا أن:
a2+b2+c2+d2=(ad−bc)2.a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = (ad – bc)^2.

المزيد من المعلومات

لحل المسألة، نبدأ بالاستفادة من الشرط المعطى: AT=A−1\mathbf{A}^T = \mathbf{A}^{-1}.

أولاً، نقوم بحساب مصفوفة الانعكاس A−1\mathbf{A}^{-1}. إذا كانت A=(abcd)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}، فإن مصفوفة الانعكاس A−1\mathbf{A}^{-1} تُحسب بواسطة العملية الآتية:

A−1=1det(A)(d−b−ca)\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\text{det}(\mathbf{A})} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

حيث det(A)\text{det}(\mathbf{A}) تمثل معامل الانحراف (الم determinat) للمصفوفة A\mathbf{A} ويُحسب كالتالي: det(A)=ad−bc\text{det}(\mathbf{A}) = ad – bc.

لكننا نعلم أن AT=A−1\mathbf{A}^T = \mathbf{A}^{-1}. لذا يكون:

(acbd)=1ad−bc(d−b−ca)\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \frac{1}{ad – bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

الآن، يتبين لنا أنه يجب أن تتطابق المكونات المقابلة في الجانبين الأيسر والأيمن من المعادلة.

بالتالي، لدينا العلاقات التالية:

  1. a=dad−bca = \frac{d}{ad – bc}
  2. c=−bad−bcc = \frac{-b}{ad – bc}
  3. b=−cad−bcb = \frac{-c}{ad – bc}
  4. d=aad−bcd = \frac{a}{ad – bc}

من هذه العلاقات، يمكننا الآن حساب قيم a2+b2+c2+d2a^2 + b^2 + c^2 + d^2.

تُستخدم قوانين الجبر الخطي وحساب المصفوفات في حل هذا النوع من المسائل، مثل قوانين الانعكاس والتحويلات وحساب المعاملات وغيرها. استخدمنا أيضًا المعرفة الأساسية للجبر المصفوفاتي لحساب مصفوفة الانعكاس والمعاملة.

اخر تحديث 30/01/2024
1