حساب مصفوفة الإسقاط على السطح (مسألة رياضيات)

لنفترض أن $P$ هي السطح الذي يمر عبر الأصل مع قطعته الطولية $\begin{pmatrix} X \ -2 \ 1 \end{pmatrix}.$ لحساب المصفوفة $\mathbf{P}$، نحتاج أولاً إلى إيجاد متجها وحدوياً (قائما على السطح) ومن ثم استخدامه لبناء مصفوفة الإسقاط.

للعثور على المتجه الوحد الذي يعمل كقاعدة للإسقاط على السطح $P$، يجب أن نستخدم القاعدة التالية:
إذا كان السطح $P$ يُمثل بواسطة المعادلة $ax + by + cz = 0$، فإن المتجه $(a, b, c)$ هو المتجه الوحد الذي يعمل كقاعدة للإسقاط على هذا السطح.

نظرًا لأن السطح $P$ يمر عبر الأصل ولديه قطع طولية $\begin{pmatrix} X \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$، فإن المعادلة تكون $Xx – 2y + z = 0$.
من هذه المعادلة، يمكننا أن نرى أن المتجه الوحد هو $\left(\frac{X}{\sqrt{X^2 + 2^2 + 1^2}}, \frac{-2}{\sqrt{X^2 + 2^2 + 1^2}}, \frac{1}{\sqrt{X^2 + 2^2 + 1^2}}\right)$.

الآن، لبناء مصفوفة الإسقاط $\mathbf{P}$، نحتاج إلى أن نستخدم هذا المتجه الوحد كأعمدة لها.

المصفوفة $\mathbf{P}$ لها الشكل التالي:
$\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \frac{X}{X^2 + 5} & \frac{-2}{X^2 + 5} & \frac{1}{X^2 + 5} \\ \frac{-2X}{X^2 + 5} & \frac{4}{X^2 + 5} & \frac{-2}{X^2 + 5} \\ \frac{X}{X^2 + 5} & \frac{1}{X^2 + 5} & \frac{X^2 + 1}{X^2 + 5} \end{pmatrix}$

وعند مطابقة الإجابة المعطاة:
$\begin{pmatrix} \frac{5}{6} & \frac{1}{3} & \frac{-1}{6} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{-1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{5}{6} \end{pmatrix}$
نجد أن قيمة المتغير المجهول $X$ تساوي $2$.

لحساب المصفوفة $\mathbf{P}$ التي تمثل الإسقاط على السطح $P$، نحتاج إلى اتباع خطوات محددة واستخدام بعض القوانين الخاصة بالإسقاطات والمعادلات الخطية. إليك الخطوات التفصيلية:

1. ايجاد المعادلة للسطح $P$: يعطى لنا السطح $P$ بواسطة معادلته العامة. يمر السطح عبر الأصل وله قطع طولية $\begin{pmatrix} X \ -2 \ 1 \end{pmatrix}$، لذلك يمكننا استخدام هذه المعلومات لوضع المعادلة. في هذه الحالة، المعادلة هي $Xx – 2y + z = 0$.

2. ايجاد المتجه الوحد للسطح $P$: المتجه الوحد يكون عموديًا على السطح. يمكننا استخدام معادلة السطح لايجاد المتجه الوحد. في هذه الحالة، المتجه الوحد هو $\left(\frac{X}{\sqrt{X^2 + 5}}, \frac{-2}{\sqrt{X^2 + 5}}, \frac{1}{\sqrt{X^2 + 5}}\right)$.

3. بناء مصفوفة الإسقاط $\mathbf{P}$: بما أن المتجه الوحد يعمل كأعمدة للإسقاط، يمكننا استخدام هذه المعلومات لبناء مصفوفة الإسقاط. تقوم هذه المصفوفة بتحويل أي نقطة في الفضاء إلى نقطتها المظللة على السطح $P$.

4. مقارنة الإجابة المعطاة مع الحل النهائي: بمجرد بناء مصفوفة الإسقاط $\mathbf{P}$، يمكننا مقارنتها مع الإجابة المعطاة للتحقق من صحة الحل ولمعرفة قيمة المتغير المجهول $X$.

القوانين المستخدمة هي:

• معادلة السطح: يستخدم لتحديد معادلة السطح بناءً على الشروط المعطاة.
• المتجه الوحد: يعمل كأساس للإسقاط على السطح، ويتم ايجاده عن طريق تطبيق القوانين الرياضية الخاصة بالمتجهات والوحدات.
• مصفوفة الإسقاط: تقوم بتحويل نقطة في الفضاء إلى نقطتها المظللة على السطح بناءً على المتجه الوحد.

باستخدام هذه القوانين والإجراءات، يمكننا حل المسألة والعثور على قيمة المتغير المجهول $X$ باستخدام المعطيات المعطاة والعمليات الحسابية المناسبة.