حساب مسافة بين دائرة ونقطة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المعطاة تتطلب حساب المسافة بين مركز الدائرة المعرفة بالمعادلة $x^2 + y^2 = 2x + 4y – 1$ والنقطة $(13,7)$.

لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، يمكن استخدام الصيغة التالية:
$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث:

• $d$ هو المسافة بين النقطتين.
• $(x_1, y_1)$ هي إحدى النقطتين.
• $(x_2, y_2)$ هي النقطة الأخرى.

بالنظر إلى المعادلة $x^2 + y^2 = 2x + 4y – 1$، يمكن تمثيلها على شكل الدائرة. يمكن تحويل هذه المعادلة إلى صيغة قياسية للدائرة بإكمال المربعات لتكون:
$(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 6$

بالمقارنة مع الصيغة القياسية لدائرة بمركز $(h, k)$ ونصف قطر $r$ والتي تكون على شكل $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، يمكن تحديد أن مركز الدائرة هو $(1, 2)$ ونصف القطر هو $\sqrt{6}$.

الآن، بمعرفة النقطة المعطاة $(13, 7)$، يمكن استخدام الصيغة لحساب المسافة بين هذه النقطة ومركز الدائرة:

$d = \sqrt{(13 – 1)^2 + (7 – 2)^2}$
$d = \sqrt{(12)^2 + (5)^2}$
$d = \sqrt{144 + 25}$
$d = \sqrt{169}$
$d = 13$

لذا، المسافة بين مركز الدائرة والنقطة $(13,7)$ هي 13 وحدة.

لحساب المسافة بين مركز الدائرة والنقطة المعطاة، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تحديد موقع مركز الدائرة:
   نقوم بتحويل المعادلة الأصلية $x^2 + y^2 = 2x + 4y – 1$ إلى صيغة قياسية لدائرة. من خلال إكمال المربعات، نجد أن الدائرة تكون على شكل $(x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 6$. لذا، مركز الدائرة يكون عند النقطة $(1, 2)$.

2. حساب المسافة:
   باستخدام الصيغة الخاصة بحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء، والتي تكون $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$، حيث $(x_1, y_1)$ هي موقع مركز الدائرة، و$(x_2, y_2)$ هي موقع النقطة المعطاة.

3. تطبيق الصيغة:
   نعوض قيم النقاط في الصيغة للحصول على المسافة بينهما. في حالتنا، $(x_1, y_1) = (1, 2)$ و$(x_2, y_2) = (13, 7)$. نقوم بحساب فارق الإحداثيات بين النقطتين ونربع كل منها، ثم نجمعها ونأخذ الجذر التربيعي للحصول على المسافة.

4. القوانين المستخدمة:

   • معادلة الدائرة: نقوم بتحويل المعادلة إلى صيغة قياسية للدائرة.
   • صيغة حساب المسافة: نستخدم الصيغة البسيطة لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء باستخدام نقطة التحول والنقطة المعطاة.
   • قوانين الجبر والهندسة الفراغية: نستخدم المفاهيم الأساسية في الجبر والهندسة لحل المسألة وتطبيق الصيغ.

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع حساب المسافة بين مركز الدائرة والنقطة المعطاة بدقة.