حساب مساحة ومحيط الرومبس

من المسألة المطروحة، يتعين علينا حساب مساحة رومبس باستخدام المعلومات المتاحة. لنبدأ بإعادة صياغة المسألة بشكل تفصيلي:

نعلم أن محيط الرومبس هو 68 سم. لنمثل الطول الجانب للرومبس بـ $a$ سم. وبما أن الرومبس له أربعة أضلاع متساوية الطول، يكون محيطه مجموع أطوال الأضلاع الأربعة، لذا يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$4a = 68$

من هذه المعادلة، يمكننا حساب قيمة $a$ كالتالي:

$a = \frac{68}{4} = 17$

الآن، نعلم أن إحدى قطري الرومبس تساوي 16 سم. لنمثل طول هذه القطر بـ $d$. وبما أن الرومبس يتميز بأن قطريه يقسمانه إلى زاويا متساوية، فإن قطر يقسم الرومبس إلى مثلثين متساويي الضلعين. لذا، يمكننا استخدام معلومات الطول الجانب والقطر لحساب زاوية المثلث.

نستخدم قانون الجيب في المثلث الذي تكون فيه طول الضلع $a$ وطول القطر $d$:

$\tan(\theta) = \frac{a/2}{d/2}$

حيث $\theta$ هي نصف زاوية الرومبس. يمكننا حساب قيمة $\theta$ باستخدام العكس التمامي للتمام ($\tan^{-1}$):

$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{a/2}{d/2}\right)$

بعد حساب قيمة $\theta$، يمكننا حساب مساحة الرومبس باستخدام القاعدة التالية:

$\text{مساحة الرومبس} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$

حيث $d_1$ و $d_2$ هما طولي القطرين. يتم استخدام القسمة على 2 لأننا نقوم بحساب مساحة مثلث (الذي يشكله القطرين)، ومساحة المثلث تحسب بالقاعدة العامة $\text{مساحة المثلث} = \frac{\text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}}{2}$.

أتمنى أن يكون الحل واضحًا ومفهومًا.

بالطبع، دعونا نستعرض الحلا بتفصيل أكبر، مع ذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المسألة:
نعطى رومبسًا، حيث محيطه يساوي 68 سم، وإحدى قطريه يساوي 16 سم. نريد حساب مساحته.

الحل:

1. حساب طول الضلع:
معلوم أن محيط الرومبس يساوي 68 سم، ولأن لدينا أربعة أضلاع متساوية، يمكننا استخدام القانون التالي:
$\text{محيط الرومبس} = 4 \times \text{طول الضلع}$

$68 = 4a$

$a = \frac{68}{4} = 17$

إذا كان طول الضلع يساوي 17 سم.

2. حساب زاوية الرومبس:
نستخدم قانون الجيب في المثلث الذي يتكون من نصف طول الضلع $a$ ونصف طول القطر $d$ لحساب زاوية الرومبس.

$\tan(\theta) = \frac{a/2}{d/2}$

$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{17/2}{16/2}\right)$

حساب قيمة $\theta$ يعطينا قيمة الزاوية الداخلية للرومبس.

3. حساب مساحة الرومبس:
بمجرد حساب قيمة الزاوية $\theta$، نستخدم القاعدة التالية لحساب مساحة الرومبس:

$\text{مساحة الرومبس} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$

حيث $d_1$ و $d_2$ هما طولي القطرين، والقسمة على 2 تأتي من قاعدة حساب مساحة المثلث.

القوانين المستخدمة:

1. قانون حساب محيط الرومبس: $\text{محيط الرومبس} = 4 \times \text{طول الضلع}$
2. قانون الجيب في المثلث: $\tan(\theta) = \frac{\text{قاعدة/2}}{\text{ارتفاع/2}}$
3. قاعدة حساب مساحة المثلث: $\text{مساحة المثلث} = \frac{\text{قاعدة} \times \text{ارتفاع}}{2}$
4. قانون حساب مساحة الرومبس: $\text{مساحة الرومبس} = \frac{d_1 \times d_2}{2}$

أتمنى أن يكون الشرح واضح ومفهوم.