نريد حساب مساحة المنطقة داخل المنحنيات $y=x$، $y=10$، $y=5$، ومحور $y$. هذه المنطقة تشكل شكل هندسي يشبه المنطقة بين المنحنيين في شكل مستطيل ولكن مع قمة مائلة، وهذا يعني أنها تشكل مستطيل مع قطعة مثلثة عند القاعدة.
لحساب مساحة المستطيل، نحتاج إلى طول قاعدته (الجهة الأفقية) وارتفاعه (الجهة الرأسية). في هذه الحالة، طول القاعدة يكون الفارق بين القيم العظمى والصغرى للدالة $y=x$ على الفترة المحددة.
دالة $y=x$ تقاطع المحور $y$ عند $(0,0)$ وتقاطع خطوط $y=10$ و $y=5$ عند نقاط $(10,10)$ و $(5,5)$ على التوالي. لذا، طول القاعدة يكون $10 – 0 = 10$.
الانتقال إلى ارتفاع المستطيل، يجب علينا أن نحدد الفارق بين الخطوط $y=10$ و $y=5$ على نفس الفترة. هنا، يكون الارتفاع هو $10 – 5 = 5$.
الآن، يمكننا حساب مساحة المستطيل باستخدام العلاقة:
الآن، نحتاج إلى حساب مساحة المثلث. المثلث هنا هو الذي تشكله الدالة $y=x$ مع المحور $y$ والقاعدة هي الارتفاع الذي حسبناه سابقًا.
المثلث له قاعدة بطول $5$ وارتفاع يكون أيضًا $5$ (لأنه يتشكل بين الدالة $y=x$ والمحور $y$). لحساب مساحة المثلث:
المساحة الإجمالية للمنطقة هي مجرد جمع مساحة المستطيل ومساحة المثلث:
إذاً، مساحة المنطقة هي 62.5 وحدة مربعة.
المزيد من المعلومات
لحل هذه المسألة، سنقوم بتحليل المنطقة الواقعة بين المنحنيات $y=x$، $y=10$، و$y=5$، والمحور $y$. سنستخدم القوانين الرياضية الأساسية لحساب مساحة المنطقة، وهي:
-
قانون حساب مساحة المستطيل:
-
قانون حساب مساحة المثلث:
أولاً، نحسب طول القاعدة الأفقية للمستطيل. هو الفارق بين القيمة الكبرى والقيمة الصغرى للدالة $y=x$ في الفترة المعنية. في هذه الحالة، قيمة $y=10$ تعتبر القيمة الكبرى وقيمة $y=5$ تعتبر القيمة الصغرى. لذا، الطول يكون:
الآن، نحسب ارتفاع المستطيل، وهو الفارق بين قيمتي $y=10$ و $y=5$. الارتفاع يكون:
نستخدم قانون حساب مساحة المستطيل:
ثم، ننتقل إلى حساب مساحة المثلث. القاعدة هي الطول نفسه لأن المثلث يتشكل بين المنحنى $y=x$ والمحور $y$. الارتفاع هو الفارق بين قيمة $y=10$ و $y=5$، أيضا يكون 5. نستخدم قانون مساحة المثلث:
المساحة الإجمالية للمنطقة تكون مجرد جمع مساحة المستطيل ومساحة المثلث:
لكن، يبدو أن هناك خطأ في إجابتي السابقة، وعذرًا على ذلك. المساحة الصحيحة للمنطقة هي 37.5 وحدة مربعة، وليس 62.5 كما ذكرت في الإجابة السابقة.