حساب مساحة منطقة إحداثية xy (مسألة رياضيات)

المسألة:
تجميع مساحة المنطقة في المستوى الإحداثي xy المحددة بواسطة مجموعة النقاط (x، y) بحيث |x – 3| ≤ y ≤ 4 – |x – 1|.

الحل:
لحساب مساحة هذه المنطقة في المستوى الإحداثي xy، يمكننا تقسيمها إلى مربعين رئيسيين يتجاوزان بعضهما البعض. الشرط الرئيسي هو أن |x – 3| ≤ y ≤ 4 – |x – 1|.

للبداية، نحدد نطاق القيم الممكنة لـ x بناءً على الشروط المعطاة. لدينا اثنين من التعبيرات المطلوبة للنظر فيها: |x – 3| و |x – 1|.

1. عندما يكون (x – 3) أو (x – 1) إيجابيًا، يكون الشرط |x – 3| ≤ y يتطلب أن يكون y بين (x – 3) و 4 – (x – 1).

2. عندما يكون (x – 3) أو (x – 1) سالبًا، يكون الشرط |x – 3| ≤ y يتطلب أن يكون y بين -(x – 3) و (x – 1) – 4.

نقسم الفحص إلى حالتين:

أ. عندما (x – 3) أو (x – 1) إيجابيًا:
إذاً، 3 ≤ x ≤ 4 و 4 – x ≤ y ≤ x – 3.

ب. عندما (x – 3) أو (x – 1) سالبًا:
إذاً، 1 ≤ x ≤ 3 و -(x – 3) ≤ y ≤ x – 4.

الآن، يمكننا حساب المساحة بين هذين الطرفين. يمكن تقسيم المنطقة إلى مستطيلين: واحد يتراوح بين 3 و 4 في x وآخر يتراوح بين 1 و 3 في x.

لحساب المساحة:
مساحة المستطيل الأول: (4 – 3) * (4 – 3) = 1.
مساحة المستطيل الثاني: (3 – 1) * (4 – 1) = 6.

إجمالاً، المساحة الكلية هي 1 + 6 = 7 وحدات مربعة.

في هذه المسألة، نحن نتعامل مع منطقة محددة في المستوى الإحداثي xy، وذلك باستخدام القوانين والتعبيرات الرياضية لتحديد الشروط التي تحدد هذه المنطقة. سنقوم بتوضيح الخطوات بمزيد من التفصيل مع استخدام بعض القوانين الرياضية الأساسية.

الشروط المعطاة هي:
$|x – 3| \leq y \leq 4 – |x – 1|$

القوانين المستخدمة:

1. قانون القيم المطلقة:
   $|a| \leq b$
   يعني أن قيمة $a$ تكون أقل من أو تساوي $b$. هذا يشير إلى نطاق من القيم التي يمكن أن تأخذها $a$.

2. تعبيرات رياضية:
   نستخدم التعبيرات الرياضية لتحديد النطاقات المسموح بها للمتغيرات. في هذه الحالة، لدينا تعبيرات مرتبطة بقيمة $x$ و $y$.

الخطوات:

أ. حدد نطاق القيم الممكنة لـ $x$ باستخدام قيم المطلق:
$|x – 3| \leq y$
و
$y \leq 4 – |x – 1|$

تحديد النطاق عندما $(x – 3)$ إيجابي:
$3 \leq x \leq 4$
و
$4 – x \leq y \leq x – 3$

تحديد النطاق عندما $(x – 3)$ سالب:
$1 \leq x \leq 3$
و
$-(x – 3) \leq y \leq x – 4$

ب. حساب المساحة:
يمكن تقسيم المنطقة إلى مستطيلين، كما ورد في الإجابة السابقة.

مساحة المستطيل الأول: $(4 – 3) \times (4 – 3) = 1$
مساحة المستطيل الثاني: $(3 – 1) \times (4 – 1) = 6$

إجمالاً، المساحة الكلية هي $1 + 6 = 7$ وحدات مربعة.

هذه الخطوات تعتمد على استخدام قوانين الرياضيات والتعبيرات الرياضية لتحديد النطاقات وحساب المساحة.