حساب مساحة مستطيل بناءً على الإحداثيات (مسألة رياضيات)

المسألة:
ما هو مساحة المنطقة المحصورة بين أضلاع المستطيل $ABCD$، حيث تكون نقاط الرؤوس هي: $A(1، -2)$، $B(1، 1)$، $C(5، 7)$، و$D(5، 1)$ عند رسمها في نظام الإحداثيات المستطيل القياسي؟

الحل:
لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين أضلاع المستطيل، يمكننا استخدام الصيغة التالية لمساحة المنطقة المحصورة بين الضلعين المتجاورين في المستطيل:

$\text{مساحة المنطقة} = \frac{(\text{مجموع الطولين للضلعين المتجاورين}) \times (\text{ارتفاع الاستطيل})}{2}$

لنحسب الطولين للضلعين المتجاورين:

1. لضلع $AB$، نستخدم النقاط $A(1، -2)$ و $B(1، 1)$:
   $\text{الطول} = \sqrt{(1 – 1)^2 + (1 – (-2))^2} = \sqrt{3^2} = 3$

2. لضلع $CD$، نستخدم النقاط $C(5، 7)$ و $D(5، 1)$:
   $\text{الطول} = \sqrt{(5 – 5)^2 + (1 – 7)^2} = \sqrt{(-6)^2} = 6$

المجموع الإجمالي للطولين: $3 + 6 = 9$

الآن نحسب ارتفاع المستطيل، وهو الفارق بين القيمة الصغرى والقيمة الكبرى للإحداثيات على المحور الرأسي. لذا:

$\text{الارتفاع} = |(-2) – 7| = 9$

الآن نستخدم الصيغة لحساب مساحة المنطقة:

$\text{مساحة المنطقة} = \frac{9 \times 9}{2} = \frac{81}{2}$

لذا، مساحة المنطقة المحصورة بين أضلاع المستطيل $ABCD$ هي $\frac{81}{2}$ وحدة مربعة.

لحساب مساحة المنطقة المحصورة بين أضلاع المستطيل $ABCD$، نستخدم القوانين الهندسية الأساسية المتعلقة بالمستطيلات والمثلثات. الخطوات التفصيلية والقوانين المستخدمة هي كالتالي:

1. حساب طول الضلعين المتجاورين:

• طول الضلع $AB$ يتم حسابه باستخدام مسافة بين النقطتين $A(1، -2)$ و$B(1، 1)$ باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثنائي:
  $AB = \sqrt{(1 – 1)^2 + (1 – (-2))^2} = \sqrt{0 + 9} = 3$

• طول الضلع $CD$ يتم حسابه بنفس الطريقة باستخدام نقطتين $C(5، 7)$ و$D(5، 1)$:
  $CD = \sqrt{(5 – 5)^2 + (1 – 7)^2} = \sqrt{0 + 36} = 6$

2. حساب الارتفاع:

• الارتفاع هو الفارق بين القيمة الصغرى والقيمة الكبرى للإحداثيات على المحور الرأسي. في هذه الحالة، نحتاج إلى حساب فارق القيم بين $y$ لنقطة $A$ و$y$ لنقطة $C$:
  $\text{الارتفاع} = |(-2) – 7| = 9$

3. حساب مساحة المنطقة:

• نستخدم صيغة مساحة المستطيل، حيث يكون المجموع الإجمالي للطولين المتجاورين ضرب ارتفاع المستطيل وقسمة الناتج على 2:
  $\text{مساحة المنطقة} = \frac{(\text{مجموع الطولين}) \times (\text{الارتفاع})}{2}$
  $\text{مساحة المنطقة} = \frac{(3 + 6) \times 9}{2} = \frac{9 \times 9}{2} = \frac{81}{2}$

القوانين المستخدمة:

• معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثنائي.
• مساحة المستطيل: $\text{مساحة} = \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حل المسألة وحساب مساحة المنطقة المحصورة بين أضلاع المستطيل بطريقة دقيقة وفعالة.