حساب مساحة مربع باستخدام الإحداثيات (مسألة رياضيات)

نُعطى نقطتين متجاورتين في مربع، وهما $(-1,4)$ و$(2,-3)$. نريد حساب مساحة هذا المربع.

للحساب، يجب أولاً تحديد طول ضلع المربع. يمكننا استخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثنائي لحساب الطول بين النقطتين.

إذا كانت النقطتين $A(x_1, y_1)$ و$B(x_2, y_2)$، فإن مسافة بينهما تُعطى بالعلاقة التالية:
$AB = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

نستخدم هذه العلاقة لحساب طول ضلع المربع. لنتوقف قليلاً ونحسب المسافة بين النقطتين $(-1,4)$ و$(2,-3)$.

لذا:
$AB = \sqrt{(2 – (-1))^2 + ((-3) – 4)^2} = \sqrt{3^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58}$

الآن، نعرف أن ضلع المربع يساوي مسافة بين نقطتين متجاورتين. لكننا بحاجة أيضًا لمعرفة المسافة بين النقطتين على القطر الآخر للمربع.

إذا كان المربع ABCD، ونقطتين متجاورتين هما A و B، فإن النقطتين الأخريين هما C و D.

مراعاة لأن المربع يتكون من أربعة زوايا متساوية، فإن زاوية الزاوية المستقيمة في المربع تعادل 90 درجة. لذا، يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب المسافة بين النقطتين الأخريين.

لنركز على نقطة $(-1,4)$ ونقطة $(2,-3)$. إذا قمنا بنقل النقطة $(-1,4)$ باتجاه النقطة $(2,-3)$، فسنجد أن النقطة الناتجة ستكون $(2 + 3, -3 – 4)$ أو $(5, -7)$.

لذا، المسافة بين النقطتين $(-1,4)$ و$(2,-3)$ تكون نفس المسافة بين النقطتين $(2,-3)$ و$(5,-7)$.

بالتالي، يكون طول الضلع هو $\sqrt{58}$.

الآن، نعرف أن طول ضلع المربع هو $\sqrt{58}$، فإن مساحة المربع تكون مربع طول الضلع.

لذا، مساحة المربع تكون:
$Area = (\sqrt{58})^2 = 58$

في هذه المسألة، نحن بحاجة إلى حساب مساحة مربع يحيط بنقطتين متجاورتين. الحل يتضمن استخدام العديد من المفاهيم الهندسية والجبرية.

القوانين والمفاهيم المستخدمة في الحل تشمل:

1. معادلة المسافة بين نقطتين في الفضاء الثنائي: هذه المعادلة تستخدم لحساب المسافة بين نقطتين في الإحداثيات الثنائية. تعطي المعادلة مسافة بين النقطتين باستخدام فكرة المثلث القائم ونظرية فيثاغورس.

2. الخصائص الهندسية للمربع: المربع هو شكل هندسي يتمتع بخصائص مميزة، منها أن جميع الزوايا تساوي 90 درجة وأضلاعه متساوية الطول.

3. المتناظرية في المربع: تستخدم مفهوم المتناظرية في المربع لتحديد مسافة الضلع الذي يربط بين النقطتين ومسافة الضلع المتجاور لها.

4. قوانين الجبر والجبر الهندسي: نستخدم الجبر والجبر الهندسي لتحديد الطول والمسافة بين النقاط واستنتاج العلاقات الهندسية بينها.

الحل بشكل مفصل يشمل ما يلي:

1. استخدام معادلة المسافة بين النقطتين لحساب طول الضلع بين النقطتين المعطاة.
2. استخدام خصائص المربع لتحديد المسافة بين النقاط على القطر الآخر للمربع.
3. تطبيق المتناظرية في المربع لتأكيد أن المسافة بين النقطتين المعطاة تكون مساوية للمسافة بين النقاط الأخرى.
4. استخدام قوانين الجبر لحساب مساحة المربع من خلال مربع الطول.

بالمجمل، هذا الحل يجمع بين المفاهيم الهندسية والجبرية لحل المسألة وتحديد مساحة المربع بدقة.