حساب مساحة مثلث محصور بالمحورين (مسألة رياضيات)

المنطقة المثلثية محصورة بين محوري الإحداثيات والمستقيم الذي يعطى بالمعادلة $2x + y = 6$. لحساب مساحة هذه المنطقة، يمكننا القيام بالتالي:

أولاً، يتعين علينا حساب نقاط التقاطع مع المحورين. للحصول على نقطة التقاطع مع محور x (حيث y = 0)، نقوم بحل المعادلة $2x + 0 = 6$، وبالتالي يكون x = 3. لذا، لدينا نقطة (3، 0).

ثم، نقوم بحساب نقطة التقاطع مع محور y (حيث x = 0)، وذلك بحل المعادلة $2 \times 0 + y = 6$، وبالتالي y = 6. لذا، لدينا نقطة (0، 6).

الآن، نحتاج إلى حساب نقطة التقاطع مع المستقيم $2x + y = 6$. لحسابها، يمكننا حل المعادلة الخطية. بإعادة ترتيب المعادلة للحصول على y، نحصل على $y = -2x + 6$. الآن، نستخدم هذه المعادلة لحساب قيمة y عند x = 3 (من نقطة التقاطع مع محور x)، حيث $y = -2 \times 3 + 6 = 0$. لذا، لدينا نقطة (3، 0).

المنطقة المثلثية محصورة بين نقاط (0، 6)، (3، 0)، و (3، 0). الآن، يمكننا حساب مساحة المثلث باستخدام الصيغة:
$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$
$= \frac{1}{2} \times 3 \times 6$
$= 9$

إذاً، مساحة المنطقة المثلثية هي 9 وحدات مربعة.

لحل هذه المسألة، نقوم بمراحل متتالية لتحديد نقاط التقاطع ومن ثم حساب مساحة المثلث. الخطوات كالتالي:

1. حساب نقاط التقاطع مع المحورين:

   • للحصول على نقطة التقاطع مع محور x (حيث y = 0)، نحل المعادلة $2x + 0 = 6$ لنحصل على x = 3. إذاً، لدينا نقطة (3، 0).
   • للحصول على نقطة التقاطع مع محور y (حيث x = 0)، نحل المعادلة $2 \times 0 + y = 6$ لنحصل على y = 6. إذاً، لدينا نقطة (0، 6).

2. حساب نقطة التقاطع مع المستقيم:

   • نعيد ترتيب المعادلة $2x + y = 6$ للحصول على صيغة y. نحصل على $y = -2x + 6$.
   • نستخدم هذه المعادلة لحساب قيمة y عند x = 3 (نقطة التقاطع مع محور x). نضع x = 3 في المعادلة لنحصل على $y = -2 \times 3 + 6 = 0$. إذاً، لدينا نقطة (3، 0).

3. حساب مساحة المثلث:

   • بعد تحديد ثلاث نقاط: (0، 6)، (3، 0)، و (3، 0)، نستخدم الصيغة لحساب مساحة المثلث:
     $\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$
     $= \frac{1}{2} \times 3 \times 6$
     $= 9$

القوانين المستخدمة:

1. معادلة الخطوط:

   • استخدمنا معادلة الخط $2x + y = 6$ لتحديد نقطة التقاطع مع المستقيم.
   • أعددنا المعادلة بحيث يمكننا حساب قيمة y عند قيمة x معينة.

2. مساحة المثلث:

   • استخدمنا صيغة مساحة المثلث: المساحة = 0.5 × القاعدة × الارتفاع.
   • قاعدتنا هي المسافة بين نقطتين (في هذه الحالة بين (0، 6) و (3، 0)).
   • ارتفاعنا هو القيمة الرأسية للنقطة الثالثة (في هذه الحالة y = 0).

باستخدام هذه الخطوات والقوانين، نستطيع تحديد نقاط التقاطع وحساب مساحة المنطقة المثلثية بطريقة دقيقة ومفصلة.