حساب مساحة مثلث جديد بتمديد الدالة (مسألة رياضيات)

الدالة $f(x)$ معرفة على المجال $\{x_1, x_2, x_3\}$، ويتكون رسمها من ثلاث نقاط تشكل مثلثًا بمساحة قدرها 32. رسم $y = 2f(2x)$ أيضاً يتألف من ثلاث نقاط. ما هي مساحة المثلث الذي يتكون من تلك النقاط؟

لنقم بفحص الدالة $y = 2f(2x)$ ونحسب النقاط التي يمر بها الرسم. للقيام بذلك، نستخدم القاعدة $f(cx)$ التي تقول إن تغيير المعامل $c$ يقوم بتمدد أو انكماش الرسم الدالي بمعامل $\frac{1}{c}$. في هذه الحالة، نرى أن $y = 2f(2x)$ يقوم بضرب $x$ في 2 داخل الدالة $f(x)$، ومن ثم يضرب الناتج في 2. لذا، $y$ يمثل $f(x)$ الممددة بمعامل 2.

لدينا ثلاث نقاط على الرسم الأصلي $f(x)$، لنستخدم هذه النقاط لحساب النقاط المتواجدة على $y = 2f(2x)$ بعد التمدد. سنقوم بضرب قيم $x$ بمعامل 2 وبعد ذلك ضرب قيم $f(x)$ بمعامل 2.

مرة أخرى، سنقوم بتشكيل مثلث باستخدام النقاط الثلاث على $y = 2f(2x)$، ونحسب المساحة باستخدام الصيغة الكلاسيكية لمساحة المثلث:

$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

حيث القاعدة تمثل الفارق بين النقاط على محور $x$، والارتفاع يمثل الفارق بين النقاط على محور $y$.

إذاً، نحسب القيم الجديدة للنقاط، ثم نقوم بحساب القاعدة والارتفاع وتطبيق الصيغة للحصول على المساحة.

لحل هذه المسألة، سنتبع الخطوات التالية:

1. تحديد النقاط الثلاث على $f(x)$:
   لنفترض أن لدينا نقاطًا ثلاثة على $f(x)$ هي $(x_1, f(x_1)), (x_2, f(x_2)), (x_3, f(x_3))$.

2. تمديد $f(x)$ للحصول على $y = 2f(2x)$:
   سنمدد $f(x)$ بمعامل 2 في اتجاه المحور الأفقي بحيث تصبح النقاط الجديدة على $y = 2f(2x)$:

   $$(2x_1, 2f(x_1)), (2x_2, 2f(x_2)), (2x_3, 2f(x_3))$$

3. تحديد النقاط الممددة على $y = 2f(2x)$:
   لنحسب النقاط الجديدة التي تشكل رسم $y = 2f(2x)$.

4. حساب طول القاعدة والارتفاع:
   نحتاج إلى حساب الفارق بين النقاط على محور $x$ للحصول على طول القاعدة، والفارق بين النقاط على محور $y$ للحصول على الارتفاع.

5. حساب المساحة باستخدام صيغة مساحة المثلث:
   نستخدم الصيغة:

   $$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$

6. القوانين المستخدمة:

   • قانون تمديد الدالة: إذا كانت $y = f(x)$، فإن $y = af(bx)$ يمثل تمديداً للدالة في اتجاه المحور الأفقي بمعامل $a$ وانكماشاً في اتجاه المحور الرأسي بمعامل $\frac{1}{b}$.
   • صيغة مساحة المثلث: المساحة = $\frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$.

باستخدام هذه القوانين، يمكننا حساب المساحة بدقة. يرجى توضيح القيم المحددة لـ $f(x)$ ومتابعة الخطوات بناءً على القيم الفعلية للمساعدة في الحسابات.