حساب مساحة مثلث بنقاط محددة (مسألة رياضيات)

مساحة المثلث يمكن حسابها باستخدام النصيب من قاعدته والارتفاع. قاعدة المثلث هي المسافة بين النقطتين $(0,0)$ و$(0,5)$، والتي يمكن حسابها بالطرح الفرق بين الإحداثيات الرأسية للنقطتين.

$\text{القاعدة} = 5 – 0 = 5$

الارتفاع هو المسافة بين النقطة $(7,12)$ والخط الذي يحده القاعدة. يمكننا حساب هذا الارتفاع باستخدام فارق الإحداثيات الأفقية بين النقطة $(7,12)$ والقاعدة، وذلك بطرح قيمة الإحداثي الأفقي للنقطة $(7,12)$ من الإحداثي الأفقي لإحدى نقط القاعدة.

$\text{الارتفاع} = 7 – 0 = 7$

الآن، يمكننا استخدام هذه القيم في الصيغة الأساسية لحساب مساحة المثلث:

$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 = \frac{35}{2}$

لتقريب هذه الكسر إلى أقرب عشرة، نقوم بالقسمة:

$\text{المساحة} \approx \frac{35}{2} \approx 17.5$

إذا كانت إجابتنا هي 17.5 وحدة مربعة، ونقوم بتقريبها إلى العشرة الأقرب، وبالتالي، المساحة تكون تقريبًا 17.5 وحدة مربعة.

لحل مسألة حساب مساحة المثلث بين النقاط $(0,0)$، $(0,5)$، و$(7,12)$، نستخدم قوانين الهندسة الأساسية والجبر.

أولاً، نستخدم معادلة الميل لحساب طول القاعدة. الميل هو النسبة بين الارتفاع والقاعدة للمثلث. يمكن حساب الميل باستخدام الفارق في الإحداثيات الرأسية والأفقية بين النقاط. لدينا نقطتين على القاعدة: $(0,0)$ و$(0,5)$.

$\text{الميل} = \frac{\text{الارتفاع}}{\text{القاعدة}} = \frac{5 – 0}{0 – 0} = \frac{5}{0}$

لاحظ أن الميل هنا لا يمكن حسابه بشكل معتاد بسبب القسمة على الصفر، ولكن يمكننا استخدام النقطتين على القاعدة للتأكد من أنهما على نفس الخط الرأسي، وبالتالي الميل لا نهائي (مستقيمة رأسية).

الآن، نستخدم معادلة الخط لحساب معادلة القاعدة باستخدام أحد النقاط على القاعدة. نحتاج إلى إيجاد معادلة الخط الذي يمر بنقطة $(0,5)$.

$y – y_1 = m(x – x_1)$

حيث $m$ هو الميل، و$(x_1, y_1)$ هي النقطة على القاعدة.

$y – 5 = \frac{5}{0}(x – 0)$

الميل هو لا نهائي، لذا المعادلة تصبح:

$y – 5 = \text{undefined}$

هذا يشير إلى خط رأسي يمر عبر النقطة $(0,5)$.

المثلث لديه قاعدة مستقيمة رأسيًا، وبالتالي، المثلث لديه قاعدة وارتفاع يتشابهان في الاتجاه. لذلك، المساحة تكون نصف ضرب قاعدة المثلث في الارتفاع:

$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$

نعلم أن الميل هو لا نهائي، وبالتالي الارتفاع أيضًا يكون لا نهائيًا. لذلك، يمكننا استخدام أي نقطة على القاعدة لحساب الارتفاع. سنستخدم نقطة $(0,0)$.

$\text{الارتفاع} = 7 – 0 = 7$

الآن، نستخدم هذه القيم في معادلة حساب المساحة:

$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times 5 \times 7 = \frac{35}{2}$

لتقريب هذه الكسر إلى أقرب عشرة، نقوم بالقسمة:

$\text{المساحة} \approx \frac{35}{2} \approx 17.5$

إذا كانت إجابتنا هي 17.5 وحدة مربعة، ونقوم بتقريبها إلى العشرة الأقرب، وبالتالي، المساحة تكون تقريبًا 17.5 وحدة مربعة.

لقد استخدمنا هنا قوانين الهندسة الأساسية لحساب مساحة المثلث، والتي تتضمن استخدام الميل، معادلة الخط، ومعادلة حساب المساحة.