حساب مساحة مثلث بناءً على المحيط ونصف قطر الدائرة الداخلية (مسألة رياضيات)

محيط مثلث يساوي 36 سم، ونصف قطر دائرة الدائرة المدورة داخل المثلث (النصف الصغير للدائرة) يبلغ 2.5 سم. ما هو مساحة المثلث؟

لنقم بتسمية طول الضلع الأول بـ $a$، الثاني بـ $b$، والثالث بـ $c$، ونعلم أن محيط المثلث يُعبَّر عنه بالمعادلة:

$P = a + b + c = 36 \, \text{سم}$

ونعلم أيضاً أن نصف قطر الدائرة المدورة داخل المثلث (النصف الصغير للدائرة) يتصل بمساحة المثلث عبر العلاقة التالية:

$r = \frac{A}{s}$

حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة المدورة، $A$ هي مساحة المثلث، و $s$ هو نصف محيط المثلث ويُحسَب كالتالي:

$s = \frac{P}{2}$

بمعرفتنا بقيم $P$ و $r$، يمكننا حساب $s$ ومن ثم حساب $A$.

الآن، دعونا نقوم بحساب قيمة $s$:

$s = \frac{36}{2} = 18 \, \text{سم}$

ثم نستخدم العلاقة بين $r$ و $A$:

$2.5 = \frac{A}{18}$

لحل المعادلة للحصول على $A$:

$A = 2.5 \times 18 = 45 \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة المثلث هي 45 سم مربع.

بالتأكيد، سأقدم تفاصيل أكثر حول حل المسألة، وسأشرح القوانين والعلاقات المستخدمة.

لنعيد صياغة المسألة:

نعلم أن محيط المثلث هو 36 سم، ونصف قطر الدائرة المدورة داخل المثلث (النصف الصغير للدائرة) يساوي 2.5 سم. نريد حساب مساحة المثلث.

للبداية، لنتذكر العلاقة بين محيط المثلث وأضلاعه. يمكننا كتابة المعادلة التالية:

$P = a + b + c$

حيث $a$، $b$، و $c$ هي أضلاع المثلث. في هذه المسألة، $P = 36$ سم.

ثم، لنتذكر العلاقة بين نصف قطر الدائرة المدورة داخل المثلث ومساحة المثلث:

$r = \frac{A}{s}$

حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة المدورة، $A$ هي مساحة المثلث، و $s$ هو نصف محيط المثلث.

نستخدم أيضًا العلاقة التالية:

$s = \frac{P}{2}$

الآن، لنبدأ بحساب $s$:

$s = \frac{36}{2} = 18 \, \text{سم}$

ثم نستخدم علاقة نصف قطر الدائرة مع $s$ لحساب مساحة المثلث:

$2.5 = \frac{A}{18}$

لحل المعادلة والحصول على قيمة $A$:

$A = 2.5 \times 18 = 45 \, \text{سم}^2$

القوانين المستخدمة هي قوانين الهندسة الأساسية، بما في ذلك قانون حساب محيط المثلث وعلاقة نصف قطر الدائرة المدورة داخل المثلث مع مساحته.