حساب مساحة مثلث باستخدام قاعدة هيرون (مسألة رياضيات)

نريد حساب مساحة المثلث ABC، والذي يتكون من النقاط A(-3,1)، B(7,1)، وC(5,-3).

لاحظ أننا يمكننا استخدام قاعدة المسافة بين نقطتين في الفضاء لحساب أطوال الأضلاع.

لنحسب أطوال الأضلاع أولاً:

1. لنجد طول الضلع AB، استخدم قاعدة المسافة بين نقطتين:
   AB = √[(7 – (-3))^2 + (1 – 1)^2] = √[10^2 + 0^2] = √100 = 10.

2. لنجد طول الضلع AC:
   AC = √[(5 – (-3))^2 + (-3 – 1)^2] = √[8^2 + (-4)^2] = √(64 + 16) = √80.

3. لنجد طول الضلع BC:
   BC = √[(7 – 5)^2 + (1 – (-3))^2] = √[2^2 + 4^2] = √(4 + 16) = √20.

الآن بعد أن لدينا أطوال الأضلاع، يمكننا استخدام قاعدة هيرون لحساب مساحة المثلث بواسطة الأطوال المعروفة للأضلاع.

سنستخدم قاعدة هيرون:

مساحة المثلث = √[s(s – AB)(s – AC)(s – BC)]

حيث s هو نصف محيط المثلث ويُحسب كالتالي:
s = (AB + AC + BC) / 2

نستخدم الأطوال التي حسبناها من قبل:

s = (10 + √80 + √20) / 2

الآن قم بحساب قيمة s ومن ثم استخدمها في حساب مساحة المثلث.

بعد حساب قيمة s، سنستخدمها في قاعدة هيرون لحساب مساحة المثلث.

مساحة المثلث = √[s(s – AB)(s – AC)(s – BC)]

تطبيق القاعدة:
مساحة المثلث = √[s(s – 10)(s – √80)(s – √20)]

هذا هو الحل الكامل لمسألة حساب مساحة المثلث ABC.

لحل مسألة حساب مساحة المثلث ABC، نحتاج إلى استخدام بعض القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة الفضائية:

1. قانون مسافة بين نقطتين:
   يُستخدم لحساب المسافة بين نقطتين في الفضاء الثنائي باستخدام إحداثياتهما. يُعطى بواسطة العلاقة:
   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
   حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هي إحداثيات النقطتين، و $d$ هو المسافة بينهما.

2. قاعدة هيرون:
   تُستخدم لحساب مساحة المثلث عندما تكون معروفة أطوال الأضلاع فقط. إذا كانت أطوال الأضلاع $a$ و $b$ و $c$، ونصف محيط المثلث $s$، يُعطى القانون بواسطة العلاقة:
   $\text{مساحة المثلث} = \sqrt{s(s – a)(s – b)(s – c)}$
   حيث $s = \frac{{a + b + c}}{2}$ هو نصف محيط المثلث.

الآن دعونا نستخدم هذه القوانين لحساب مساحة المثلث ABC:

1. حساب أطوال الأضلاع:

   • $AB = \sqrt{(7 – (-3))^2 + (1 – 1)^2} = \sqrt{10^2 + 0^2} = 10$ وحدة.
   • $AC = \sqrt{(5 – (-3))^2 + (-3 – 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$ وحدة.
   • $BC = \sqrt{(7 – 5)^2 + (1 – (-3))^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ وحدة.

2. حساب نصف محيط المثلث:
   $s = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{10 + \sqrt{80} + \sqrt{20}}}{2}$

3. حساب مساحة المثلث باستخدام قاعدة هيرون:
   $\text{مساحة المثلث} = \sqrt{s(s – AB)(s – AC)(s – BC)}$

بعد حساب قيمة $s$ واستخدام القاعدة المذكورة، يمكننا الآن الحصول على قيمة مساحة المثلث ABC بالوحدة المربعة.