حساب مساحة مثلث باستخدام الإحداثيات (مسألة رياضيات)

نريد حساب مساحة المثلث المكون من النقاط (-1, 4)، (7, 0)، و (11, 5).

لحساب مساحة المثلث، يمكننا استخدام صيغة معروفة تعتمد على إحدى طرق حساب المثلثات، وهي صيغة “نصف القاعدة مضروباً بالارتفاع”. نبدأ بحساب الأسس والارتفاع.

الأسس:
لنجد أطوال الأسس، يجب علينا حساب الفارق بين أبعاد النقاط.

1. بين النقطتين (-1, 4) و (7, 0):
   الفارق في الس عبارة عن: $7 – (-1) = 8$ والفارق في الص هو: $0 – 4 = -4$.
   طول الأس: $d_1 = \sqrt{(8)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$.
2. بين النقطتين (-1, 4) و (11, 5):
   الفارق في الس عبارة عن: $11 – (-1) = 12$ والفارق في الص هو: $5 – 4 = 1$.
   طول الأس: $d_2 = \sqrt{(12)^2 + (1)^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$.
3. بين النقطتين (7, 0) و (11, 5):
   الفارق في الس عبارة عن: $11 – 7 = 4$ والفارق في الص هو: $5 – 0 = 5$.
   طول الأس: $d_3 = \sqrt{(4)^2 + (5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$.

الآن نحتاج إلى حساب الارتفاع. سنستخدم قانون المثلثات لحساب الارتفاع. سنفترض أن الأساس هو $d_1$ لسهولة الحساب.

لنحسب ميل الميل، سنأخذ النقطة المتبقية (11, 5) ونرسم خطًا عموديًا على $d_1$ مرورًا بالنقطة (11, 5). هذا الميل يعتبر الارتفاع.

الميل = $\frac{{\text{الارتفاع}}}{{d_1}}$.

الميل = $\frac{{5 – 4}}{{11 – (-1)}} = \frac{1}{12}$.

الآن نحسب الارتفاع:
الارتفاع = الميل × $d_1$ = $\frac{1}{12} \times \sqrt{80}$.

الآن لحساب مساحة المثلث، نستخدم الصيغة:

المساحة = $\frac{1}{2} \times \text{الأساس} \times \text{الارتفاع}$.

المساحة = $\frac{1}{2} \times \sqrt{80} \times \frac{1}{12} \times \sqrt{80}$.

المساحة = $\frac{1}{24} \times 80 = \frac{80}{24} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}$ وهو الجواب.

لذا، مساحة المثلث هي $\frac{10}{3}$ وحدة مربعة.

لحل مسألة حساب مساحة المثلث المكون من النقاط المعطاة (-1, 4)، (7, 0)، و (11, 5)، سنقوم باتباع الخطوات التالية واستخدام بعض القوانين الهندسية:

1. حساب طول الأسس:
   يمكننا استخدام قانون مسافة بين نقطتين في الفضاء لحساب طول كل أساس. القانون هو:

   $$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$

   حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هم إحداثيات النقطتين.

2. حساب الارتفاع:
   سنحتاج إلى معرفة الارتفاع من أحد زوايا المثلث. يمكن استخدام ميل الميل لحساب الارتفاع، حيث يتم حساب الميل بين النقطتين ومن ثم يتم استخدامه لحساب الارتفاع.

3. حساب المساحة:
   بعد حساب الأسس والارتفاع، يمكن استخدام قانون مساحة المثلث، الذي يقول إن مساحة المثلث يُمكن حسابها عن طريق ضرب نصف قاعدته في الارتفاع:

   $$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \text{القاعدة} \times \text{الارتفاع}$$

الآن، لنقم بحساب الأسس والارتفاع ومن ثم حساب المساحة:

1. حساب الأسس:

   • بين النقاط (-1, 4) و (7, 0):
     $$d_1 = \sqrt{(7 – (-1))^2 + (0 – 4)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80}$$
   • بين النقاط (-1, 4) و (11, 5):
     $$d_2 = \sqrt{(11 – (-1))^2 + (5 – 4)^2} = \sqrt{12^2 + 1^2} = \sqrt{144 + 1} = \sqrt{145}$$
   • بين النقاط (7, 0) و (11, 5):
     $$d_3 = \sqrt{(11 – 7)^2 + (5 – 0)^2} = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$$

2. حساب الارتفاع:
   سنفترض أن النقطة (11, 5) هي نقطة قاعدة المثلث. نحتاج إلى حساب الميل بين هذه النقطة وخط القاعدة الممتد بين (-1, 4) و (7, 0).
   الميل = $\frac{{5 – 4}}{{11 – (-1)}} = \frac{1}{12}$.
   الارتفاع = الميل × $d_1$ = $\frac{1}{12} \times \sqrt{80}$.

3. حساب المساحة:

   $$\text{المساحة} = \frac{1}{2} \times \sqrt{80} \times \frac{1}{12} \times \sqrt{80} = \frac{1}{24} \times 80 = \frac{80}{24} = \frac{10}{3}$$

لذا، مساحة المثلث هي $\frac{10}{3}$ وحدة مربعة.