حساب مساحة مثلث بأطوال معينة

مسألة حسابية رياضية تتعلق بحساب مساحة مثلث معين، حيث تكون أطوال أضلاعه 65 سم، 60 سم، و25 سم على التوالي. سنقوم بحساب مساحة هذا المثلث باستخدام القاعدة الشهيرة المعروفة باسم قاعدة هيرن، التي تعطي النتيجة على النحو التالي:

لنعيد صياغة المسألة بشكل مختصر:
ما هي مساحة مثلث يكون لديه أضلاع بأطوال 65 سم، 60 سم، و25 سم؟

الحل:
نستخدم قاعدة هيرن لحساب مساحة المثلث. تُمثل $s$ نصف مجموع أطوال الأضلاع ($s = \frac{a + b + c}{2}$). حيث تكون $a$، $b$، و$c$ هي أطوال الأضلاع.

بمعرفة نصف المجموع ($s$)، يمكننا حساب المساحة ($A$) باستخدام الصيغة التالية:

$A = \sqrt{s \cdot (s – a) \cdot (s – b) \cdot (s – c)}$

بتعويض القيم المعطاة:
$s = \frac{65 + 60 + 25}{2} = 75$

ثم نقوم بحساب المساحة:
$A = \sqrt{75 \cdot (75 – 65) \cdot (75 – 60) \cdot (75 – 25)}$

$A = \sqrt{75 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 50}$

$A = \sqrt{5625000}$

$A = 750 \, \text{سم}^2$

إذا كانت أطوال الأضلاع هي 65 سم، 60 سم، و25 سم، فإن مساحة المثلث تكون 750 سم مربع.

بالتأكيد، سنقوم بتوضيح أكثر في حل هذه المسألة وسنشرح القوانين التي تم استخدامها. لنبدأ بفرض أن لدينا مثلثًا ABC حيث $AB = 65 \, \text{سم}$، $BC = 60 \, \text{سم}$، و $CA = 25 \, \text{سم}$.

القانون الأساسي المستخدم هو قاعدة هيرن، وهي كالتالي:
$s = \frac{a + b + c}{2}$
حيث $s$ هو نصف مجموع أطوال الأضلاع ($AB$, $BC$, $CA$)، و $a$, $b$, $c$ هي أطوال الأضلاع على التوالي.

نستخدم هذه القاعدة لحساب نصف مجموع الأطوال:
$s = \frac{65 + 60 + 25}{2} = \frac{150}{2} = 75 \, \text{سم}$

الآن، نستخدم قانون هيرن لحساب مساحة المثلث:
$A = \sqrt{s \cdot (s – a) \cdot (s – b) \cdot (s – c)}$
حيث $A$ هي مساحة المثلث.

نعوض القيم:
$A = \sqrt{75 \cdot (75 – 65) \cdot (75 – 60) \cdot (75 – 25)}$
$A = \sqrt{75 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 50}$
$A = \sqrt{5625000}$
$A = 750 \, \text{سم}^2$

إذاً، مساحة المثلث هي $750 \, \text{سم}^2$. يتم استخدام قانون هيرن لحساب مساحة المثلث عند معرفة أطوال جميع الأضلاع.