حساب مساحة قطعة نصفية الإليبس (مسألة رياضيات)

نعطي مسألة معينة تتعلق بقطع نصف الكرة، حيث تكون نقاط نهاية القطر الكبير للقطعة هي $(-11،4)$ و $(9،4)$. بالإضافة إلى ذلك، تمر القطعة بنقطة $(7،7)$. الهدف هو حساب مساحة هذه القطعة.

لحل هذه المسألة، نبدأ بحساب طول نصفي القطعة. يمكننا استخدام النقاط المعطاة للحصول على طول الشعاع الأكبر ونستخدم ذلك للحصول على معادلة القطعة.

طول الشعاع الأكبر = نصف الفارق بين الإحداثيتين:
$a = \frac{9 – (-11)}{2} = \frac{20}{2} = 10$

للحصول على معادلة القطعة، نستخدم النقطة الأخرى المارة في القطعة $(7،7)$ ونستخدم معادلة القطعة القياسية:
$\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$

حيث $(h،k)$ هي مركز القطعة. نظرًا لأننا نعلم أن القطعة تمر عبر النقطة $(7،7)$، فإن معادلة القطعة تصبح:
$\frac{(x – 7)^2}{10^2} + \frac{(y – 7)^2}{b^2} = 1$

نحتاج الآن إلى حساب طول الشعاع الثاني، $b$، ويمكننا القيام بذلك باستخدام النقطة الأخرى على القطعة. لدينا:
$\frac{(9 – 7)^2}{10^2} + \frac{(4 – 7)^2}{b^2} = 1$

$\frac{2^2}{100} + \frac{(-3)^2}{b^2} = 1$

$\frac{4}{100} + \frac{9}{b^2} = 1$

$\frac{1}{25} + \frac{9}{b^2} = 1$

$\frac{9}{b^2} = \frac{24}{25}$

$b^2 = \frac{25}{24}$

$b = \sqrt{\frac{25}{24}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{24}} = \frac{5}{\sqrt{24}}$

الآن، نستخدم معادلة مساحة القطعة النصفية لحساب المساحة:
$A = \frac{1}{2} \pi a b$

$A = \frac{1}{2} \pi \times 10 \times \frac{5}{\sqrt{24}}$

$A = \frac{5\pi}{\sqrt{24}}$

وهذه هي المساحة المطلوبة للقطعة.

لحل هذه المسألة، استخدمنا القوانين والمفاهيم الأساسية في الهندسة الرياضية، خاصة عند التعامل مع القطع النصفية. القوانين التي تم استخدامها تشمل:

1. معادلة القطعة النصفية:
   قمنا بتحديد معادلة القطعة النصفية باستخدام نصفي الأطوال الرئيسية ($a$) والثانية ($b$). المعادلة العامة للقطعة النصفية هي:
   $\frac{(x – h)^2}{a^2} + \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1$
   حيث $(h, k)$ هي مركز القطعة.

2. حساب طول الشعاع:
   لحساب طول الشعاع الرئيسي ($a$)، استخدمنا نصف الفارق بين نقطتي نهاية القطعة:
   $a = \frac{1}{2}(\text{نهاية القطعة}_2 – \text{نهاية القطعة}_1)$

3. حل معادلة للحصول على طول الشعاع الثاني ($b$):
   قمنا بحساب الشعاع الثاني ($b$) باستخدام النقطة الإضافية على القطعة، مع تطبيق معادلة القطعة النصفية.

4. حساب المساحة:
   استخدمنا معادلة مساحة القطعة النصفية لحساب المساحة:
   $A = \frac{1}{2} \pi a b$

باستخدام هذه القوانين والمفاهيم، تمكنا من حساب طولي الشعاع ومن ثم حساب المساحة بدقة. الحل تضمن تطبيق الرياضيات الأساسية والجبر والهندسة الهندسية للوصول إلى الإجابة النهائية.