حساب مساحة قطاع الدائرة: مثال عملي

مساحة القطاع في دائرة نصف قطرها 12 مترًا، وزاويته في المركز 30 درجة هي ما يُطلق عليه المصطلح الرياضي “مساحة القطاع”، وهي كمية تُعبر عن المنطقة المحصورة بين القوس الدائري للقطاع وشعاعي المركز اللذين يتكونان عند قطع الدائرة. لحساب مساحة هذا القطاع، يُستخدم النهج التالي:

أولاً، نحسب طول القوس المحصور بين النقطتين على حافة القطاع. يمكن حساب طول القوس باستخدام العلاقة التالية:

$S = r \theta$

حيث $S$ هي طول القوس، $r$ هو نصف قطر الدائرة، و$\theta$ هو الزاوية في الراديان. في هذه الحالة، نعلم أن نصف قطر الدائرة هو 12 مترًا والزاوية هي 30 درجة. لتحويل الزاوية من درجات إلى الراديان، نستخدم العلاقة:

$\text{زاوية (بالراديان)} = \frac{\text{زاوية (بالدرجات)} \times \pi}{180}$

ثم نعوض قيم النصف قطر والزاوية في العلاقة الأولى لحساب طول القوس.

ثانيًا، بمجرد أن لدينا طول القوس، يمكننا حساب مساحة القطاع باستخدام العلاقة التالية:

$\text{مساحة القطاع} = \frac{1}{2} r^2 \theta$

نقوم بضرب نصف ربع قطر الدائرة في الزاوية (بالراديان) للحصول على مساحة القطاع.

الآن، سنقوم بحساب القيم باستخدام الخطوات السابقة.

لنقم أولاً بحساب الزاوية بالراديان:

$\text{زاوية (بالراديان)} = \frac{30 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

الآن، سنحسب طول القوس $S$ باستخدام العلاقة $S = r \theta$:

$S = 12 \times \frac{\pi}{6} = 2\pi$

الآن، سنحسب مساحة القطاع باستخدام العلاقة $\text{مساحة القطاع} = \frac{1}{2} r^2 \theta$:

$\text{مساحة القطاع} = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{\pi}{6} = 36\pi$

إذاً، مساحة القطاع في هذه الدائرة حيث نصف قطرها 12 مترًا وزاويتها في المركز تساوي 30 درجة هي $36\pi$ متر مربع.

لحساب مساحة القطاع، نحتاج إلى الاعتماد على بعض القوانين والعلاقات الهندسية. في هذه المسألة، سنستخدم القوانين التالية:

1. قانون طول القوس:
   يُعبر عن طول القوس على دائرة بنصف قطر $r$ وزاوية $\theta$ بالراديان بالعلاقة:
   $S = r \theta$
   حيث $S$ هو طول القوس، $r$ هو نصف قطر الدائرة، و $\theta$ هو الزاوية بالراديان.

2. تحويل الزاوية من درجات إلى راديان:
   العلاقة بين الزاوية بالدرجات والزاوية بالراديان هي:
   $\text{زاوية (بالراديان)} = \frac{\text{زاوية (بالدرجات)} \times \pi}{180}$

3. مساحة القطاع:
   يمكن حساب مساحة القطاع باستخدام العلاقة:
   $\text{مساحة القطاع} = \frac{1}{2} r^2 \theta$
   حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة، و $\theta$ هو الزاوية بالراديان.

لحساب مساحة القطاع في هذه المسألة:

أولاً، نحسب الزاوية بالراديان:
$\text{زاوية (بالراديان)} = \frac{30 \times \pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

ثم، نستخدم قانون طول القوس لحساب طول القوس:
$S = 12 \times \frac{\pi}{6} = 2\pi$

أخيراً، نستخدم مساحة القطاع لحساب المساحة:
$\text{مساحة القطاع} = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{\pi}{6} = 36\pi$

لذا، تم حل المسألة باستخدام هذه القوانين والعلاقات الهندسية للوصول إلى إجابة نهائية تعبر عن مساحة القطاع.