حساب مساحة دائرة في الإحداثيات (مسألة رياضيات)

نعتبر دائرة في المستوى الكارتيزي يكون مركزها في النقطة (-3، -4) وتمر عبر النقطة (1، 2). الآن سنقوم بحساب مساحة هذه الدائرة.

المسافة بين نقطتين في الإحداثيات الكارتيزية يمكن حسابها باستخدام مسافة المثلث بينهما، والتي تكون معادلتها:

$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

حيث $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ هما إحداثيات النقطتين. في حالتنا، نقوم بحساب المسافة بين مركز الدائرة $(-3، -4)$ والنقطة التي تمر عبرها $(1، 2)$:

$d = \sqrt{(1 – (-3))^2 + (2 – (-4))^2}$

$d = \sqrt{4^2 + 6^2}$

$d = \sqrt{16 + 36}$

$d = \sqrt{52}$

بمعرفة المسافة بين مركز الدائرة ونقطة على حافة الدائرة، يمكننا استخدام هذه المسافة كنصف قطر الدائرة ($r$).

$r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{52}}{2}$

الآن، يمكننا حساب مساحة الدائرة باستخدام الصيغة:

$A = \pi r^2$

$A = \pi \left(\frac{\sqrt{52}}{2}\right)^2$

$A = \pi \cdot \frac{52}{4}$

$A = \frac{13}{2} \pi$

إذا كانت المساحة الإجمالية للدائرة المعنية هي $\frac{13}{2} \pi$ وحدة مربعة.

بالطبع، سنقوم الآن بتوضيح الحل بمزيد من التفاصيل، مع استعراض القوانين والمفاهيم المستخدمة.

للحل:

1. حساب المسافة بين نقطتين:
   نبدأ بحساب المسافة بين مركز الدائرة $(-3، -4)$ والنقطة التي تمر عبرها $(1، 2)$ باستخدام معادلة المسافة بين نقطتين في الإحداثيات الكارتيزية:

   $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

   حيث $d$ هي المسافة، و$(x_1, y_1)$ و$(x_2, y_2)$ هما إحداثيات النقطتين.

   في هذه الحالة:
   $d = \sqrt{(1 – (-3))^2 + (2 – (-4))^2}$
   $d = \sqrt{4^2 + 6^2}$
   $d = \sqrt{52}$

2. حساب نصف قطر الدائرة ($r$):
   نصف القطر هو المسافة بين مركز الدائرة وأي نقطة على حافة الدائرة. في هذه الحالة:
   $r = \frac{d}{2} = \frac{\sqrt{52}}{2}$

3. حساب مساحة الدائرة ($A$):
   مساحة الدائرة يمكن حسابها باستخدام الصيغة:
   $A = \pi r^2$
   حيث $r$ هو نصف القطر.

   في هذه الحالة:
   $A = \pi \left(\frac{\sqrt{52}}{2}\right)^2$
   $A = \pi \cdot \frac{52}{4}$
   $A = \frac{13}{2} \pi$

القوانين المستخدمة:

• معادلة المسافة بين نقطتين:
  $d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$

• مساحة الدائرة:
  $A = \pi r^2$

• نصف القطر:
  $r = \frac{d}{2}$

• قيمة $\pi$:
  تقريبًا 3.14159.

تم استخدام هذه القوانين لحساب مسافة القطر ونصف القطر، ومن ثم استخدامها في حساب مساحة الدائرة.