حساب مساحة دائرة بتكميل المربع (مسألة رياضيات)

المعادلة المعطاة هي $x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$. لحساب المنطقة المحصورة بين هذه المعادلة، يمكننا أولاً تكميل مربعين للمتغيرات $x$ و $y$ عن طريق إضافة قيم تصحيحية، وذلك للحصول على المعادلة بتنسيق كامل:

$(x^2 + 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) = 25.$

الآن، يمكننا كتابة المعادلة بشكل مبسط:

$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25.$

هذه المعادلة تمثل دائرة في المستوى الكارتيزياني بمركز $(-3, -4)$ ونصف قطر 5. إذاً، المنطقة المحصورة بين المعادلة الأصلية هي مجرد مساحة دائرة نصف قطرها 5، وبالتالي يمكن حساب مساحتها باستخدام الصيغة:

$مساحة = \pi \times (\text{نصف القطر})^2 = 25\pi.$

لذا، المنطقة المحصورة بواسطة المعادلة المعطاة هي $25\pi$ وحدة مربعة.

لحساب المساحة المحصورة بواسطة المنحنى الذي يتم وصفه بالمعادلة $x^2 + y^2 + 6x + 8y = 0$، يمكننا اتباع الخطوات التالية:

1. تكميل المربع:
   نبدأ بتكميل المربع للجزئين المتعلقين بالمتغيرات $x$ و $y$. هذا يتم عن طريق إضافة قيم تصحيحية تجعل الجزئين قابلين للكتابة على شكل مربع كامل. في هذه الحالة:

   $x^2 + 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 = 25.$

2. تبسيط المعادلة:
   نقوم بجمع الأجزاء المتشابهة وتبسيط المعادلة للحصول على صيغة مبسطة. في هذه الحالة:

   $(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 25.$

3. تحديد الشكل الهندسي:
   المعادلة المبسطة تشير إلى دائرة في المستوى الكارتيزياني بمركز $(-3, -4)$ ونصف قطر 5.

4. حساب المساحة:
   بما أن المنطقة المطلوبة هي المنطقة المحصورة بين المنحنى والمحورين $x$ و $y$، فإننا نحتاج إلى حساب مساحة الدائرة. يتم حساب مساحة دائرة باستخدام الصيغة:

   $مساحة = \pi \times (\text{نصف القطر})^2.$

   في هذه الحالة، يكون نصف القطر هو 5، لذا المساحة تكون:

   $مساحة = \pi \times 5^2 = 25\pi.$

قوانين ومفاهيم استخدمناها في الحل:

• تكميل المربع: تقنية رياضية تُستخدم لتحويل معادلة من الدرجة الثانية إلى شكل مربع كامل.
• معادلة الدائرة: تستخدم لوصف موقع النقاط في المستوى الكارتيزياني التي تبعد عن نقطة مركزية بمقدار ثابت (نصف القطر).
• مساحة الدائرة: يتم حسابها باستخدام الصيغة $\pi \times (\text{نصف القطر})^2$.