حساب مساحة دائرة بالرياضيات. (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية المطلوبة هي حساب مساحة المنطقة المحصورة بواسطة المعادلة التالية:

$x^2+y^2+10x+24y=0$

لحساب مساحة هذه المنطقة، أولاً يجب علينا تحويل المعادلة إلى شكل معادلة دائرة قياسية. بعد ذلك، سنحدد مركز الدائرة ونستخدم النصف القطر لحساب مساحتها.

للقيام بذلك، يجب إكمال المربع للعبارات المربعة لـ $x$ و $y$ في المعادلة.

نبدأ بإكمال المربع للعبارات المربعة في المعادلة:

$x^2 + 10x + y^2 + 24y = 0$

لإكمال المربع، نحتاج إلى إضافة مصطلحات تساوي صفر في كلا الجانبين من المعادلة. لتحقيق هذا، سنقوم بإضافة مصطلحات تكميلية وذلك عن طريق إضافة الرقم المربع لنصف القيمة المعادلة لكل متغير:

$x^2 + 10x + 25 + y^2 + 24y + 144 = 25 + 144$

الآن، يمكننا كتابة المعادلة بشكل مجموعات المربع التام:

$(x + 5)^2 + (y + 12)^2 = 169$

المعادلة السابقة تمثل دائرة في المستوى الكارتيزي مع مركز $(-5, -12)$ ونصف قطر يساوي $13$.

الآن، بما أننا بحاجة إلى حساب مساحة المنطقة المحصورة داخل الدائرة، فإننا سنستخدم القاعدة التالية: مساحة الدائرة تساوي $\pi r^2$، حيث $r$ هو نصف قطر الدائرة.

بالتالي، مساحة المنطقة المحصورة تكون:

$A = \pi r^2 = \pi (13)^2 = 169\pi$

إذاً، مساحة المنطقة المحصورة داخل الدائرة المعطاة هي $169\pi$ وحدة مربعة.

لحل المسألة وحساب مساحة المنطقة المحصورة بواسطة المعادلة $x^2+y^2+10x+24y=0$، سنقوم باتباع الخطوات التالية:

1. إكمال المربع للمتغيرات: نبدأ بإكمال المربع للعبارات المربعة للمتغيرات $x$ و$y$ في المعادلة.

2. تحويل المعادلة إلى شكل دائري قياسي: عند إكمال المربع، سنقوم بتجميع المصطلحات المتشابهة وتحويل المعادلة إلى شكل معادلة دائرة قياسية.

3. حساب مركز الدائرة ونصف قطرها: من المعادلة الدائرية القياسية، يمكننا تحديد مركز الدائرة ونصف قطرها.

4. استخدام قاعدة حساب مساحة الدائرة: بعد تحديد نصف قطر الدائرة، سنستخدم قاعدة $A = \pi r^2$ لحساب مساحة المنطقة المحصورة.

تحليل المسألة وحساب المساحة يعتمدان على القوانين الرياضية التالية:

1. إكمال المربع: هو تقنية تستخدم لتحويل معادلة من شكل غير مكتمل إلى شكل مربع تام، مما يسهل فهم وحل المعادلات.

2. معادلة الدائرة القياسية: تعطى بشكل عام بالصيغة $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة، و$r$ هو نصف قطرها.

3. قاعدة حساب مساحة الدائرة: مساحة الدائرة تساوي منتج $\pi$ وتربيع نصف قطرها، أي $A = \pi r^2$.

باستخدام هذه القوانين والخطوات، نستطيع حل المسألة وتحديد مساحة المنطقة المحصورة بواسطة المعادلة المعطاة بدقة.