حساب مساحة حلقة متقاطعة لدوائر متركزة (مسألة رياضيات)

نطلب إعادة صياغة المسألة باللغة العربية:

نتوفر على دائرتين لهما نفس المركز $C.$ تُعرف الدائرة الأكبر بنصف قطر يساوي $10$، بينما يكون نصف قطر الدائرة الصغيرة هو $6.$ نريد حساب مساحة الحلقة الناتجة عن تقاطع هاتين الدائرتين.

الحل:

لحساب مساحة الحلقة، نستخدم الصيغة التالية:

$A_{\text{الحلقة}} = \pi R_1^2 – \pi R_2^2$

حيث $R_1$ هو نصف قطر الدائرة الأكبر، و $R_2$ هو نصف قطر الدائرة الصغيرة. قم بتعويض القيم:

$A_{\text{الحلقة}} = \pi \times (10)^2 – \pi \times (6)^2$

قم بحساب القيم:

$A_{\text{الحلقة}} = 100\pi – 36\pi$

أخيرًا، قم بتبسيط المعادلة:

$A_{\text{الحلقة}} = 64\pi$

إذا كانت قيمة $\pi$ معروفة، يمكننا حساب الناتج النهائي لمساحة الحلقة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم مساحة الحلقة بين دائرتين متقاطعتين. مساحة الحلقة تحسب عن طريق خصائص الدوائر والقوانين المعروفة. القانون الأساسي الذي سنستخدمه هو الفرق بين مساحتين دائرتين متقاطعتين.

القانون المستخدم:

$A_{\text{الحلقة}} = \pi R_1^2 – \pi R_2^2$

حيث:

• $A_{\text{الحلقة}}$ هي مساحة الحلقة.
• $\pi$ هي ثابت النسبة بين محيط الدائرة وقطرها (تقريبًا يُستخدم 3.14159).
• $R_1$ هو نصف قطر الدائرة الأكبر.
• $R_2$ هو نصف قطر الدائرة الصغيرة.

في هذه المسألة:

• نصف قطر الدائرة الأكبر $R_1$ هو 10 ونصف قطر الدائرة الصغيرة $R_2$ هو 6.

باستخدام القانون المذكور:

$A_{\text{الحلقة}} = \pi \times (10)^2 – \pi \times (6)^2$

قمنا بتعويض القيم وحساب الفرق بين مساحتي الدائرتين. بعد الحسابات، نحصل على:

$A_{\text{الحلقة}} = 100\pi – 36\pi$

وبتبسيط المعادلة، نحصل على الجواب النهائي:

$A_{\text{الحلقة}} = 64\pi$

إذا كانت قيمة $\pi$ معروفة، يمكن حساب الناتج النهائي. يتم استخدام هذه القوانين في الرياضيات لحساب مساحات الأشكال الهندسية.