حساب مساحة المثلث في الفضاء الإقليدي (مسألة رياضيات)

نريد حساب مساحة المثلث الذي تحدده نقاط $\mathbf{0}$، $\mathbf{a}$، و $\mathbf{b}$.

النقطة $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 5 \ 1 \end{pmatrix}$ هي نقطة على المستوى تُعرف بإحداثياتها $(5, 1)$، والنقطة $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \ 4 \end{pmatrix}$ هي نقطة بإحداثيات $(2, 4)$.

لحساب مساحة المثلث، يمكننا استخدام الصيغة التالية:

$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|$

حيث أن $(x_1, y_1)$، $(x_2, y_2)$، و $(x_3, y_3)$ هي إحداثيات النقاط الثلاث، ونحن نأخذ قيم الإحداثيات من النقاط $\mathbf{0}$، $\mathbf{a}$، و $\mathbf{b}$.

من ذلك، نستخدم الصيغة كما يلي:

$\text{Area} = \frac{1}{2} |0(1 – 4) + 5(4 – 0) + 2(0 – 1)|$
$= \frac{1}{2} |0 + 5 \times 4 + 2 \times (-1)|$
$= \frac{1}{2} |0 + 20 – 2|$
$= \frac{1}{2} |18|$
$= \frac{18}{2}$
$= 9$

لذا، مساحة المثلث هي 9 وحدات مربعة.

لحساب مساحة المثلث الذي يحدده النقاط $\mathbf{0}$، $\mathbf{a}$، و $\mathbf{b}$، نحتاج إلى استخدام قانون مساحة المثلث في الفضاء الإقليدي. هذا القانون يعتمد على مفهوم الإحداثيات والمسافات بين النقاط.

القانون الذي نعتمده يستند إلى مبدأ أن مساحة المثلث تُحسب باستخدام قاعدة التعويض، والتي تقول بأنه يمكننا حساب مساحة المثلث إذا كنا نعرف إحداثيات ثلاث نقاط غير متعامدة على بعضها البعض.

إليك الخطوات التفصيلية لحساب مساحة المثلث في هذه المسألة:

1. تحديد النقاط وإحداثياتها:

   • $\mathbf{0}$: النقطة الأولى بإحداثيات $(0, 0)$.
   • $\mathbf{a}$: النقطة الثانية بإحداثيات $(5, 1)$.
   • $\mathbf{b}$: النقطة الثالثة بإحداثيات $(2, 4)$.

2. حساب المسافات بين النقاط:

   • نحتاج إلى حساب المسافات بين النقاط باستخدام قاعدة المسافة بين نقطتين في الفضاء الإقليدي. المسافة بين نقطتين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$ تُحسب باستخدام القاعدة التالية:
     $\text{Distance} = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$
   • في هذه المسألة، سنحتاج إلى حساب المسافات بين النقاط $\mathbf{0}$ و $\mathbf{a}$ وبين النقاط $\mathbf{0}$ و $\mathbf{b}$ وبين النقاط $\mathbf{a}$ و $\mathbf{b}$.

3. استخدام قانون مساحة المثلث:

   • نستخدم قاعدة التعويض لحساب مساحة المثلث باستخدام المسافات التي حسبناها بين النقاط.
   • القاعدة تقول بأن مساحة المثلث يمكن حسابها باستخدام النقاط الثلاث على النحو التالي:
     $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 – y_3) + x_2(y_3 – y_1) + x_3(y_1 – y_2)|$

4. تطبيق القانون:

   • بعد حساب المسافات وتحديد الإحداثيات، نقوم بتعويض القيم في القانون للحصول على مساحة المثلث.

5. حساب المساحة:

   • بعد التعويض، نقوم بحساب القيمة النهائية لمساحة المثلث.

وبهذه الطريقة، يتم حساب مساحة المثلث بناءً على المعلومات المتوفرة حول النقاط والمسافات بينها، وباستخدام قاعدة تعتمد على مفهوم الإحداثيات والمسافات في الفضاء الإقليدي.