حساب مساحة الترابيزويد باستخدام التكامل (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية تتعلق بحساب مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات $y = x$، $y = 10$، $y = 5$، ومحور $y$.

لحساب المساحة، يمكننا استخدام الدمج للحصول على تكامل معين. لنقم بتعريف الدالة $f(x)$ التي تمثل المنحنى $y = x$، والدالة $g(x)$ التي تمثل المنحنى $y = 5$. يمكن استخدام الفارق بين هاتين الدوال لتحديد الارتفاع الرأسي للشريط الرفيع في الترابيزويد.

$h(x) = f(x) – g(x) = x – 5$

الآن، يمكننا كتابة المعادلة الرياضية للترابيزويد باستخدام الدوال المعرفة:

$A = \int_{a}^{b} h(x) \,dx$

حيث $a$ و $b$ هما نقاط التقاطع بين المنحنيات. يمكننا حساب هذه النقاط بحل المعادلات التالية:

$x = 5$
$x = 10$

الآن يمكننا حساب المساحة:

$A = \int_{5}^{10} (x – 5) \,dx$

حساب التكامل:

$A = \left[\frac{1}{2}x^2 – 5x\right]_{5}^{10}$

$A = \left[\frac{1}{2}(10)^2 – 5(10)\right] – \left[\frac{1}{2}(5)^2 – 5(5)\right]$

$A = \left[50 – 50\right] – \left[\frac{25}{2} – 25\right]$

$A = 0 – \left(\frac{25}{2} – 25\right)$

$A = -\frac{25}{2} + 25$

$A = \frac{25}{2} \approx 12.5$

لذا، مساحة الترابيزويد هي حوالي $12.5$ وحدة مربعة.

في هذه المسألة، نريد حساب مساحة الترابيزويد المحصورة بين المنحنيات $y = x$، $y = 10$، $y = 5$، والمحور $y$. للقيام بذلك، نستخدم قوانين الاشتقاق والتكامل لحساب المساحة.

1. تحديد الدوال:

   • نعرف دالة $f(x) = x$ كمعادلة للمنحنى $y = x$.
   • نعرف دالة $g(x) = 5$ كمعادلة للمستوى $y = 5$.

2. تحديد الارتفاع الرأسي:

   • نستخدم الفارق بين الدالتين لتحديد الارتفاع الرأسي للترابيزويد: $h(x) = f(x) – g(x) = x – 5$.

3. تحديد نقاط التقاطع:

   • نقوم بحل المعادلة $f(x) = g(x)$ للحصول على نقاط التقاطع.
   • في هذه الحالة، نحصل على $x = 5$ و $x = 10$ كنقاط تقاطع.

4. تكامل الارتفاع لحساب المساحة:

   • نستخدم التكامل لحساب المساحة بين الدالتين على الفترة $[5, 10]$:
     $A = \int_{5}^{10} (x – 5) \,dx$

5. حساب التكامل:

   • نقوم بحساب التكامل للحصول على قيمة المساحة.
     $A = \left[\frac{1}{2}x^2 – 5x\right]_{5}^{10}$
     $A = \left[\frac{1}{2}(10)^2 – 5(10)\right] – \left[\frac{1}{2}(5)^2 – 5(5)\right]$
     $A = \left[50 – 50\right] – \left[\frac{25}{2} – 25\right]$
     $A = 0 – \left(\frac{25}{2} – 25\right)$
     $A = \frac{25}{2} \approx 12.5$

6. الإجابة:

   • المساحة المطلوبة هي حوالي $12.5$ وحدة مربعة.

في هذا الحل، تم استخدام قاعدة تكامل الدوال الرياضية لحساب المساحة تحت المنحنيات. القوانين المستخدمة تشمل معرفة الدوال، حساب الفارق بينها للحصول على الارتفاع، واستخدام التكامل لحساب المساحة بين الدوال على فترة محددة.