حساب مركز الدائرة المحيطة ومركز الارتفاع (مسألة رياضيات)

نعطي المثلث $ABC$ وسمينا مركز الدائرة المحيطة بالمثلث بـ $O$ ومركز الارتفاع بـ $H$. تمثل $a$، $b$، و $c$ طول الأضلاع و$R$ يمثل نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث. الهدف هو إيجاد قيمة $OH^2$ عندما $R=7$ و $a^2 + b^2 + c^2 = 29$.

لنحسب $OH^2$، نحتاج إلى استخدام العلاقة بين $O$ و $H$ والتي تعطى بواسطة المعادلة $OH^2 = 9R^2 – (a^2 + b^2 + c^2)$.

من المعطيات المعطاة في المسألة، نستخدم قيمة $R$ و $a^2 + b^2 + c^2$ للوصول إلى القيمة المطلوبة. نعوض في المعادلة:

\begin{align*}
OH^2 & = 9(7)^2 – (29) \
& = 441 – 29 \
& = 412.
\end{align*}

لذا، نتوصل إلى أن $OH^2$ يكون 412 في هذه الحالة المحددة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم عدة قوانين هندسية ترتبط بالمثلث والدائرة المحيطة به. سنركز على استخدام العلاقة بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الارتفاع.

لنبدأ بالعلاقة بين مركز الدائرة المحيطة $O$ ومركز الارتفاع $H$. يعرف أن مركز الدائرة المحيطة يكون في مقدار معين من البُعد عن مركز الارتفاع، وهذا البُعد يعتمد على نوع المثلث (المثلث الحاد الزاوية، المستقيم الزاوية، أو المثلث الباطن). للمثلث الحاد الزاوية (الذي يحتوي على زوايا حادة أقل من $90$ درجة)، يكون مركز الدائرة المحيطة داخل المثلث. لدينا العلاقة:

$OH^2 = 9R^2 – (a^2 + b^2 + c^2)$

حيث:

• $OH$ هو المسافة بين مركز الدائرة المحيطة ومركز الارتفاع.
• $R$ هو نصف قطر الدائرة المحيطة.
• $a$، $b$، و $c$ هي طول أضلاع المثلث.

من المعطيات المعطاة في المسألة:

• $R = 7$
• $a^2 + b^2 + c^2 = 29$

نعوض هذه القيم في العلاقة أعلاه: