حساب مركز الدائرة: الصيغة والحل (مسألة رياضيات)

معادلة الدائرة بالصورة العامة $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ حيث $(D, E)$ هي مركز الدائرة و $F$ هو نصف قطرها.

باستخدام هذه الصيغة، نعيد كتابة المعادلة المعطاة:
$x^2 – 4x + y^2 – 12y = 39$

نلاحظ أننا بحاجة إلى استكمال المربعات لإكمال المربع الكامل للمعادلة. نقوم بذلك عن طريق إضافة واحد من الجانب الأيمن والأيسر للمعادلة:

$x^2 – 4x + 4 + y^2 – 12y + 36 = 39 + 4 + 36$

الآن نقوم بتجميع المربعات:

$(x – 2)^2 + (y – 6)^2 = 79$

من المعادلة أعلاه، يمكننا تحديد موقع مركز الدائرة $(h, k)$ حيث $h = 2$ و $k = 6$.

بالتالي، $h + k = 2 + 6 = 8$.

إذاً، الجواب هو $8$.

لحل مسألة مركز الدائرة وحساب مجموع إحداثياته، نستخدم مجموعة من الخطوات الرياضية والقوانين المتعلقة بالدوائر والمعادلات الخطية.

1. معادلة الدائرة بالصورة القياسية:
   يتم تحويل المعادلة المعطاة للدائرة إلى صيغتها القياسية، والتي تأخذ شكل $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، حيث $(h, k)$ هي إحداثيات مركز الدائرة و $r$ هو نصف قطر الدائرة.

2. استكمال المربعات:
   يستخدم هذا الخطوة لإكمال المربعات في المعادلة المعطاة للدائرة بهدف تبسيط الحسابات وتحديد موقع مركز الدائرة.

3. تحديد إحداثيات مركز الدائرة:
   بعد استكمال المربعات وتبسيط المعادلة، نحصل على معادلة الدائرة في الصيغة القياسية $(x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2$، من حيث يمكننا تحديد إحداثيات مركز الدائرة $(h, k)$.

4. حساب مجموع إحداثيات مركز الدائرة:
   بعد تحديد إحداثيات مركز الدائرة، نقوم بجمع قيم الإحداثيات معًا للحصول على القيمة النهائية المطلوبة.

التطبيق العملي لهذه القوانين في حل مسألة مركز الدائرة يكون عادة من خلال تطبيق خطوات مذكورة أعلاه على المعادلة المعطاة وتحويلها إلى الصيغة القياسية للدائرة ومن ثم تحديد إحداثيات مركزها وحساب مجموع إحداثياته.