حساب مدى تأثير التسرب (مسألة رياضيات)

تملأ خزانة بفعل صنبور في 6 ونصف ساعة. بسبب تسرب في قاع الخزانة، يستغرق ملء الخزانة نصف ساعة إضافية. إذا كانت الخزانة ممتلئة، كم ساعة سيستغرق التسرب لتفريغها؟

الحل:

لنحسب معدل ملء الخزانة بالصنبور في الساعة الواحدة. إذاً:

معدل ملء الخزانة بالصنبور = حجم الخزانة / وقت ملء الخزانة

ونعلم أن الصنبور يملأ الخزانة في 6 ونصف ساعة، أو بمعدل:

معدل ملء الخزانة بالصنبور = 1 / 6.5

الآن، بسبب التسرب، يستغرق ملء الخزانة وقتًا أطول بنصف ساعة، لذا الوقت الجديد هو 7 ساعات.

معدل ملء الخزانة بالصنبور مع التسرب = حجم الخزانة / وقت ملء الخزانة الجديد

ونعلم أنه يستغرق 7 ساعات لملء الخزانة مع التسرب، لذا:

معدل ملء الخزانة بالصنبور مع التسرب = 1 / 7

الآن، لنجد معدل التسرب بطرح معدل ملء الخزانة بالصنبور من معدل ملء الخزانة بالصنبور مع التسرب:

معدل التسرب = (1 / 7) – (1 / 6.5)

بعد حساب القيم، نجد أن معدل التسرب هو 1 / 455.

الآن، إذا كان الخزانة ممتلئة، فإن الوقت الذي يستغرقه التسرب لتفريغ الخزانة يمكن حسابه بالعكس:

الوقت = حجم الخزانة / معدل التسرب

الوقت = 1 / (1 / 455)

بعد الحساب، نجد أن الوقت الذي يستغرقه التسرب لتفريغ الخزانة هو 455 ساعة.

إذاً، يستغرق التسرب 455 ساعة لتفريغ الخزانة إذا كانت ممتلئة.

تحليل المسألة:

لحل هذه المسألة، سنستخدم مفهوم “معدل العمل” ونعتمد على قانون علاقة العمل والزمن. القانون ينص على أن العمل الذي يقوم به الصنبور (معدل ملء الخزانة بالصنبور) مجتمعًا مع العمل الناتج عن التسرب يؤدي إلى معدل ملء الخزانة بالصنبور مع التسرب.

القوانين المستخدمة:

1. علاقة العمل والزمن:
   $\text{عمل} = \text{معدل العمل} \times \text{الزمن}$

حل المسألة:

لنحسب معدل ملء الخزانة بالصنبور:

$\text{معدل ملء الخزانة بالصنبور} = \frac{1}{\text{وقت ملء الخزانة بالصنبور}} = \frac{1}{6.5}$

بسبب التسرب، يستغرق ملء الخزانة وقتًا أطول بنصف ساعة، لذا الوقت الجديد هو 7 ساعات.

$\text{معدل ملء الخزانة بالصنبور مع التسرب} = \frac{1}{7}$

الآن، نستخدم مفهوم علاقة العمل والزمن:

$\text{عمل بالصنبور} + \text{عمل بالتسرب} = \text{العمل الكلي}$

$\text{معدل ملء الخزانة بالصنبور} + \text{معدل ملء الخزانة بالصنبور مع التسرب} = \text{معدل التسرب}$

$\frac{1}{6.5} + \frac{1}{7} = \text{معدل التسرب}$

حساب القيم يعطينا معدل التسرب:

$\text{معدل التسرب} = \frac{1}{455}$

الآن، لنجد الزمن الذي يستغرقه التسرب لتفريغ الخزانة:

$\text{الزمن} = \frac{1}{\text{معدل التسرب}} = 455$

إذاً، يستغرق التسرب 455 ساعة لتفريغ الخزانة إذا كانت ممتلئة.