حساب مدة ملء حمام السباحة (مسألة رياضيات)

حجم المياه في حمام السباحة يتضاعف كل ساعة. إذا كان الحمام ممتلئًا إلى سعته الكاملة في غضون 8 ساعات، فبعد كم ساعة كان ممتلئًا إلى رُبُع سعته؟

لنقم أولاً بإعادة صياغة المسألة بشكل مختصر:
حجم المياه في حمام السباحة يتضاعف كل ساعة، وامتلأ الحمام في 8 ساعات. كم استغرق ليمتلئ إلى رُبُع سعته؟

الآن، سنقوم بحساب الإجابة. لنفترض أن سعة حمام السباحة تُمثّلها الوحدة “1” (يعني 100٪). في الساعة الأولى، يصبح الحمام ممتلئًا بنصف سعته، أي 0.5. في الساعة الثانية، يتضاعف الحجم مرة أخرى ليصبح 1. في الساعة الثالثة، يصبح 2، وهكذا.

لحساب عدد الساعات التي استغرقت للوصول إلى الرُبُع (0.25)، يمكننا استخدام المعادلة التالية:

$0.5^n = 0.25$

حيث $n$ هو عدد الساعات. الآن، سنقوم بحل المعادلة:

$n = \log_{0.5}(0.25)$

يمكننا استخدام القاعدة العامة للمغالطة لتحويل اللوغاريتم الى قاعدة 10:

$n = \frac{\log_{10}(0.25)}{\log_{10}(0.5)}$

الآن، سنقوم بحساب القيم:

$n = \frac{-0.602}{-0.301} \approx 2$

إذاً، استغرق الحمام ملء رُبُع سعته في حوالي 2 ساعة.

بسم الله الرحمن الرحيم

نبدأ بفهم السياق الرياضي للمشكلة. نعلم أن حجم المياه في حمام السباحة يتضاعف كل ساعة، وهذا يعني أننا نتعامل مع تسلسل هندسي. لنقم بتحليل الوضع:

لنمثل سعة حمام السباحة بالرمز $C$ (نفترض أنها 1 للتسهيل)، ولنمثل حجم المياه في الساعة $n$ بالرمز $V_n$، حيث:

$V_n = C \times 2^n$

حيث $n$ هو عدد الساعات.

الآن، نعرف أنه استغرقت 8 ساعات للحمام أن يمتلئ بالكامل. يمكننا استخدام هذه المعلومة لحساب قيمة $C$:

$C \times 2^8 = C \times 256$

لكننا نعلم أيضاً أنه بعد 8 ساعات، المياه امتلأت بالكامل. لذا:

$V_8 = C \times 256 = C \times 1 = C$

إذاً، نعلم أن السعة الكلية تكون 256 وحدة (أو 100٪).

الآن، نحتاج إلى حساب عدد الساعات التي استغرقت للوصول إلى رُبُع السعة. نستخدم المعادلة التالية:

$V_n = C \times 2^n$

لحساب عدد الساعات ($n$) حيث $V_n = 0.25$ (رُبُع السعة):

$0.25 = C \times 2^n$

نأخذ لوغاريتم قاعدة 2 للجهتين:

$\log_2(0.25) = \log_2(C \times 2^n)$

نستخدم قاعدة اللوغاريتم لجمع الأسس:

$\log_2(0.25) = \log_2(C) + \log_2(2^n)$

نعلم أن $\log_2(2^n) = n$:

$\log_2(0.25) = \log_2(C) + n$

نقوم بحساب القيم:

$\log_2(0.25) = -2$

ونعلم أن $\log_2(C)$ هو القيمة التي نبحث عنها. لذا:

$-2 = \log_2(C) + n$

نحسب $\log_2(C)$:

$\log_2(C) = -2 – n$

والآن نعلم أن $\log_2(C)$ هو قاعدة لوغاريتم العدد الذي يُربع ليعطي $C$. لذا:

$C = 2^{-2-n}$

الآن نستخدم القيمة المعروفة للسعة الكلية ($C = 1$) لحساب عدد الساعات ($n$):

$1 = 2^{-2-n}$

نحسب القيمة:

$2^{-2-n} = 1$

نعلم أن $2^0 = 1$، لذا:

$-2 – n = 0$

نحسب قيمة $n$:

$n = -2$

لكن لا يمكن أن يكون الوقت سالبًا، لذا يجب أن نتجاوز هذا الحال. نعلم أننا بدأنا من الساعة 8 ($n = 8$)، لذا نضيف 8 ساعات إلى القيمة:

$n = -2 + 8 = 6$

إذاً، استغرق الحمام ملء رُبُع سعته في 6 ساعات.

القوانين المستخدمة:

1. قانون التضاعف في التسلسل الهندسي: $V_n = C \times 2^n$.
2. قانون حجم الحمام بعد 8 ساعات: $C \times 2^8 = C$.
3. المعادلة العامة لحساب عدد الساعات: $0.25 = C \times 2^n$.
4. استخدام اللوغاريتم لحل المعادلة وتحويلها للعثور على القيم المطلوبة.