حساب محيط مضلع نظامي بزاوية خارجية 120 درجة (مسألة رياضيات)

مضلع منتظم له أضلاع بطول 5 وزاوية خارجية قيمتها 120 درجة. ما هو محيط هذا المضلع، بالوحدات؟

الحل:

لحساب محيط المضلع، يمكننا استخدام العلاقة بين طول الضلع وعدد الأضلاع في المضلع. المحيط (P) لمضلع منتظم يُحسب باستخدام العلاقة:

$P = n \times s$

حيث $n$ هو عدد الأضلاع و $s$ هو طول الضلع.

في هذه المسألة، نعلم أن طول الضلع هو 5 وأن لدينا زاوية خارجية قيمتها 120 درجة. لمعرفة عدد الأضلاع ($n$)، يمكننا استخدام العلاقة بين زوايا الشكل الداخلية والخارجية للمضلع:

$\text{زاوية داخلية} + \text{زاوية خارجية} = 180 درجة$

إذاً:

$\text{زاوية داخلية} = 180 – \text{زاوية خارجية}$

$\text{زاوية داخلية} = 180 – 120 = 60 درجة$

الآن، يمكننا استخدام عدد الأضلاع لحساب المحيط:

$P = n \times s$

$P = n \times 5$

ونعلم أن لدينا زاوية داخلية قيمتها 60 درجة، ونعرف أن لدينا عدد أضلاع، لكن يمكننا استخدام العلاقة بين عدد الأضلاع وزاويا الشكل الداخلية:

$\text{عدد الأضلاع} = \frac{360}{\text{زاوية داخلية}}$

$n = \frac{360}{60} = 6$

الآن نستخدم قيمة $n$ لحساب المحيط:

$P = 6 \times 5 = 30$

إذاً، محيط المضلع هو 30 وحدة.

لنقم بحساب محيط المضلع النظامي باستخدام الزوايا الداخلية والخارجية والعلاقات الهندسية المعروفة.

أولاً، لدينا مضلعًا نظاميًا، وهو مضلع لديه جميع الأضلاع والزوايا متساوية. يمكننا استخدام العلاقة بين عدد الأضلاع $n$ وزاويا الشكل الداخلية والخارجية.

1. زاويا الشكل الداخلية والخارجية:
   نعلم أن مجموع زوايا الشكل الداخلية لأي مضلع هو $180 \times (n – 2)$ درجة. في هذه المسألة، لدينا زاوية داخلية تساوي $180 – \text{زاوية خارجية}$ درجة. إذاً:

   $180 – \text{زاوية خارجية} = 180 \times (n – 2)$

   نستخدم هذه العلاقة لحساب قيمة $n$، عدد الأضلاع.

2. علاقة عدد الأضلاع وزاويا الشكل:
   نستخدم العلاقة بين عدد الأضلاع وزوايا الشكل الداخلية:

   $\text{عدد الأضلاع} = \frac{360}{\text{زاوية داخلية}}$

   حيث زاوية داخلية تعبر عن زاوية الشكل الداخلية للمضلع.

3. حساب محيط المضلع:
   بعد حساب قيمة $n$، نستخدم عدد الأضلاع وطول الضلع لحساب محيط المضلع:

   $\text{محيط المضلع} = n \times \text{طول الضلع}$

   في هذه المسألة:

   $\text{محيط المضلع} = n \times 5$

الآن دعونا نقوم بحل المعادلات:

1. حل معادلة زاوية الشكل الداخلية:
   $180 – \text{زاوية خارجية} = 180 \times (n – 2)$

   حيث $\text{زاوية خارجية} = 120$ درجة.

2. حساب قيمة $n$:
   $180 – 120 = 180 \times (n – 2)$
   $60 = 180 \times (n – 2)$
   $n – 2 = \frac{60}{180}$
   $n – 2 = \frac{1}{3}$
   $n = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$

   نظرًا لأن العدد الذي نحتاجه لا يمكن أن يكون كسرًا، يجب علينا تقريب القيمة، وبما أن $n$ يجب أن يكون عددًا صحيحًا (لأنه يمثل عدد الأضلاع)، فإننا نقرب قيمة $n$ إلى أقرب عدد صحيح، وهو 2.

3. حساب محيط المضلع:
   $\text{محيط المضلع} = n \times \text{طول الضلع}$
   $\text{محيط المضلع} = 2 \times 5 = 10$

إذاً، محيط المضلع هو 10 وحدات.