نرمز لجذور المعادلة بالمتغيرات $a,$ $b,$ و$c$، وتقول المسألة إنه يتعين علينا حساب قيمة المحدد التالي:
لحل هذه المسألة، يمكننا استخدام خاصية تعويض القيم. إذا كانت $a,$ $b,$ و$c$ هي جذور المعادلة $x^3 + px + q = 0$، فإننا نعرف أنها تحقق:
لنبدأ بحل المحدد. سنستخدم تقنية التطويف:
الآن دعنا نقوم بحساب القيم:
ac – bc & = a^2 – bc – q, \\
ab – ba & = ab – (b^2 + q) = -(b^2 – ab – q).
\end{aligned}\] وبالتالي، يصبح المحدد:
\[\begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = a(-(a^2 – bc – q)) – b(a^2 – bc – q) + c(-(b^2 – ab – q)).\] الآن لنقم بتبسيط التعويض:
\[\begin{aligned}
&= -a^3 + abc + aq – a^2b + abc + abq – b^2c + abc + cq \\
&= abc – a^3 – a^2b – b^2c + 3abc + aq + abq + cq \\
&= 3abc – a^3 – a^2b – b^2c + aq + abq + cq.
\end{aligned}\] الآن نحتاج إلى تعويض قيم الجذور في التعبير الذي حصلنا عليه.
باستخدام العلاقات التي حصلنا عليها من المعادلة الأصلية، نحصل على:
\[a^3 + pa + q = 0,\] \[b^3 + pb + q = 0,\] \[c^3 + pc + q = 0.\] وبالتالي:
\[a^3 = -pa – q,\] \[b^3 = -pb – q,\] \[c^3 = -pc – q.\] الآن نقوم بتعويض هذه القيم في المعادلة التي حصلنا عليها للمحدد:
\[3abc – a^3 – a^2b – b^2c + aq + abq + cq.\] يصبح:
\[3abc – (-pa – q) – a^2b – b^2c + aq + abq + (-pc – q).\] الآن سنبدأ في تبسيط هذا التعبير.
\[\begin{aligned}
&= 3abc + pa + q – a^2b – b^2c + aq + abq – pc – q \\
&= 3abc – a^2b – b^2c + pa – pc + aq + abq – q.
\end{aligned}\] الآن نعرف أنه لدينا $a,$ $b,$ $c$ هي جذور المعادلة، لذلك:
\[a + b + c = 0.\] وبالتالي، يمكننا أن نعبر عن $c$ في شكل $-(a+b)$.
لذلك:
\[3abc – a^2b – b^2c + pa – pc + aq + abq – q.\] يصبح:
\[3ab(-a-b) – a^2b – b^2(-a-b) + pa – p(-a-b) + aq + abq – q.\] الآن نواجه العديد من المصطلحات المشتركة، لذلك دعونا نقوم بتبسيطها:
\[\begin{aligned}
&= -3a^2b – 3ab^2 – a^2b + ab^2 + pa + pa + pb – pb + aq + abq – q \\
&= -4a^2b – 2ab^2 + 2pa + 2abq + pb + aq – q.
\end{aligned}\] الآن يبدو الأمر أسهل بعض الشيء. نواجه مصطلحين يتضمنان الجذور، لذلك سنقوم بتعويض:
\[ab = -q, \quad a^2b = -pa – q.\] الآن يمكننا تبسيط المعادلة بشكل كبير:
\[= -4(-pa – q) – 2(-q^2) + 2pa – 2pq + pb + aq – q.\] الآن نقوم بالتبسيط:
\[= 4pa + 4q – 2q^2 – 2pa + 2pq + pb + aq – q.\] الآن نحاول تبسيط هذا الشكل قدر الإمكان:
\[= 2pa + 4q – 2q^2 + pb + aq – q.\] الآن يبدو الأمر أسهل بعض الشيء
المزيد من المعلومات
لحل مسألة حساب قيمة المحدد المعطاة، يجب أولاً استخدام قانون تعويض القيم للجذور. هذا القانون يستند إلى العلاقة بين جذور المعادلة ومعاملاتها. إذا كانت $a,$ $b,$ و$c$ هي جذور المعادلة $x^3 + px + q = 0$، فنعلم أن $a^3 + pa + q = 0$، $b^3 + pb + q = 0$، و$c^3 + pc + q = 0$.
باستخدام هذه العلاقات، يمكننا تعويض قيم الجذور في المحدد المعطاة. المحدد الذي أعطيته هو متجه يتكون من الجذور، وفي هذه الحالة مصفوفة ثلاثية الأبعاد. يمكن حساب قيمتها باستخدام قانون التطويف.
إليك خطوات الحل بالتفصيل:
-
استخدام قانون تعويض القيم: نعوض قيم الجذور $a,$ $b,$ و$c$ في المحدد الذي أعطي. هذا يتطلب حساب تعبيرات معقدة تتضمن الجذور والمعاملات $p$ و$q$.
-
تبسيط التعبيرات: بعد تعويض القيم، نقوم بتبسيط التعبيرات للوصول إلى صيغة مبسطة تحتوي على الجذور والمعاملات فقط.
-
استخدام العلاقات الرياضية: نستخدم العلاقات الرياضية بين الجذور والمعاملات لتبسيط التعبيرات النهائية والحصول على القيمة النهائية للمحدد.
-
التحقق من الحل: يجب دائمًا التحقق من الحل للتأكد من صحته ومطابقته للشروط المعطاة في المسألة.
تمثل القوانين المستخدمة في الحل العلاقات الجذرية للمعادلة الثلاثية، قانون التطويف لحساب قيم المحدد، والعلاقات الرياضية الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب. هذه القوانين تشكل الأساس في حل مسائل الجبر والمعادلات.