حساب محدد المصفوفة بتغيير العناصر (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية:
إذا كان محدد المصفوفة $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ يساوي 4، فما قيمة المحدد للمصفوفة $\begin{vmatrix} a & 7a + 3b \ c & 7c + 3d \end{vmatrix}$؟

الحل:
لنحسب المحدد الأول:
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad – bc = 4$
الآن، لنقوم بحساب المحدد الثاني:
$\begin{vmatrix} a & 7a + 3b \\ c & 7c + 3d \end{vmatrix} = (a)(7c + 3d) – (b)(c)$
$= 7ac + 3ad – bc$
لكننا نعلم أن $ad – bc = 4$ من المحدد الأول الذي أعطي لنا، لذا يمكننا استخدام هذا في الحساب:
$7ac + 3ad – bc = 7ac + 3ad – 4$
$= 7(ac) + 3(ad) – 4$
$= 7(ad – bc) + 3(ad) – 4$
$= 7(4) + 3(ad) – 4$
$= 28 + 3(ad) – 4$
$= 24 + 3(ad)$
$= 24 + 3(4)$
$= 24 + 12$
$= 36$
لذا، المحدد للمصفوفة $\begin{vmatrix} a & 7a + 3b \ c & 7c + 3d \end{vmatrix}$ يساوي 36.

بالطبع، سأقدم لك تفاصيل أكثر وسأذكر القوانين التي تم استخدامها في الحل.

المسألة تطلب منا حساب المحدد (الDeterminant) لمصفوفة بعد تغيير قيم بعض عناصرها، مع الاحتفاظ بقيمة المحدد الأصلية. هذا يتم باستخدام القوانين التالية:

1. قاعدة تغيير الصفوف/الأعمدة: يمكننا تغيير صفوف أو أعمدة المصفوفة بما يتوافق مع القوانين الجبرية، وذلك دون تأثير على قيمة المحدد.

2. قاعدة الضرب بعدد غير متساوي للصفوف/الأعمدة: يمكننا ضرب صفوف أو أعمدة المصفوفة بعدد غير متساوي، وتأثير ذلك على قيمة المحدد يتم بطريقة محددة.

3. قاعدة الجمع/الطرح بين الصفوف/الأعمدة: يمكننا جمع أو طرح صفوف أو أعمدة المصفوفة بما يتوافق مع القوانين الجبرية، ولن يؤثر ذلك على قيمة المحدد.

في الحل السابق، استخدمنا هذه القوانين بالشكل التالي:

• نحن بدأنا باستخدام المحدد الأصلي للمصفوفة الأولى لحساب قيمته، وهو $ad – bc = 4$.
• ثم، قمنا بتطبيق قاعدة تغيير الأعمدة للمصفوفة الثانية بحيث قمنا بإعادة صياغة العمود الثاني للمصفوفة الأصلية عبر تغيير $b$ و $d$ بتعبيرات جديدة.
• بعد ذلك، استخدمنا القاعدة الأساسية لحساب المحددات لحساب المحدد الجديد للمصفوفة الثانية والتي تكمن في تبديل العناصر في التعبير الأول مع العناصر في التعبير الثاني وضربهم بالمحدد الأصلي، وهذا ما أعطى لنا المحدد الجديد الذي تساوى 36.

باستخدام هذه القوانين والخطوات المذكورة، نستطيع حساب المحدد للمصفوفة الثانية بدقة وبسهولة.