حساب محدد المصفوفة المرفوعة إلى التربيع (مسألة رياضيات)

إذا كانت مصفوفة A ذات الترتيب (n) وكانت قيمة المحدد لها تساوي 5، فما هو قيمة محدد مصفوفة A المرفوعة إلى الدرجة الثالثة؟

الحل:
لنحسب أولاً مصفوفة A المرفوعة إلى الدرجة الثالثة، حيث يمكننا تحقيق ذلك عن طريق ضرب المصفوفة في نفسها ثلاث مرات، أي A^3 = A * A * A.

الآن، لنحسب قيمة المحدد لمصفوفة A المرفوعة إلى الدرجة الثالثة، سنقوم بحساب المحدد بعد ذلك. إذا كانت قيمة المحدد لمصفوفة A تساوي 5، فإن قيمة المحدد لمصفوفة A المرفوعة إلى الدرجة الثالثة ستكون 5^3، أو بمعنى آخر، 125.

لذا، إذا كانت المصفوفة A ذات الترتيب n وقيمة المحدد لها تساوي 5، فإن قيمة المحدد لمصفوفة A المرفوعة إلى الدرجة الثالثة هي 125.

لحل المسألة وحساب محدد المصفوفة A مرفوعة إلى التربيع (det(A^3))، نحتاج إلى استخدام القوانين والخصائص المتعلقة بمحدد المصفوفات. هنا الخطوات والقوانين المستخدمة:

1. محدد المصفوفات (Determinant): هو عبارة عن دالة تعطي قيمة عددية لكل مصفوفة مربعة. يمثل المحدد كيفية تأثير المصفوفة على تغيّر حجم الفضاء الذي تمثله.

2. قانون ضرب المحددات: يقول إن محدد المنتج (أو الضرب) لمصفوفتين هو ما يساوي محدد المصفوفة الأولى ضرب محدد المصفوفة الثانية. يُعبر عن ذلك بالصيغة: $\text{det}(AB) = \text{det}(A) \times \text{det}(B)$.

3. تكرار الضرب: نستخدم هذه القاعدة لتوسيع مصفوفة معينة بتكرار الضرب في نفسها، كما في الحالة عند رفع المصفوفة إلى قوة معينة.

الآن، لنحسب $\text{det}(A^3)$ بناءً على القوانين المذكورة:

من السؤال، نعلم أن $\text{det}(A) = 5$.

نريد حساب $\text{det}(A^3)$، والذي يُمثل تكرار الضرب لمصفوفة A بنفسها ثلاث مرات.

باستخدام قانون ضرب المحددات، يمكننا كتابة:

$\text{det}(A^3) = \text{det}(A \times A \times A)$

ومن ثم، باستخدام خاصية تكرار الضرب، نحصل على:

$\text{det}(A \times A \times A) = \text{det}(A) \times \text{det}(A) \times \text{det}(A)$

وبما أن $\text{det}(A) = 5$، نستبدل القيمة:

$\text{det}(A^3) = 5 \times 5 \times 5 = 125$

إذاً، محدد المصفوفة A مرفوعة إلى التربيع يساوي 125.