حساب مجموع مربعات الجذور: تطبيقات فيتا (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المعادلة الرياضية باللغة العربية:

نريد حساب مجموع مربعات الجذور للمعادلة:
$x^{2018} + 44x^{2015} + 3x^3 + 404 = X$

نريد العثور على قيمة المتغير X.

الحل:
لنقم بحساب المشتقة الأولى للمعادلة بالنسبة لـ $x$، ومن ثم استخدام قاعدة فيتا للحساب بحيث تكون المجموعة الجذرية هي الجذور الحقيقية للمعادلة.

بدايةً، نقوم بحساب المشتقة الأولى للمعادلة:
$f(x) = x^{2018} + 44x^{2015} + 3x^3 + 404 – X$

$f'(x) = 2018x^{2017} + 44 \times 2015x^{2014} + 9x^2$

الآن، بموجب قاعدة فيتا، فإن مجموع مربعات الجذور يساوي مربع مشتقة المعادلة مقسومة على معامل الدرجة الأعلى في المعادلة، وهذا يعني:

$S = \left(\frac{f'(0)}{2018}\right)^2$

حيث أن $f'(0)$ هو قيمة المشتقة الأولى للمعادلة عند $x = 0$.

لحساب $f'(0)$، نستبدل $x$ بـ 0 في المشتقة الأولى:

$f'(0) = 2018 \times 0^{2017} + 44 \times 2015 \times 0^{2014} + 9 \times 0^2 = 0$

الآن، نعوض قيمة $f'(0)$ في الصيغة لحساب $S$:

$S = \left(\frac{0}{2018}\right)^2 = 0$

بما أن الجواب المطلوب هو 0، فإن قيمة المتغير $X$ تكون أيضًا 0.

لنقوم بتحليل المسألة بمزيد من التفصيل وذكر القوانين المستخدمة في الحل.

المعادلة التي نريد حلها هي:
$x^{2018} + 44x^{2015} + 3x^3 + 404 = X$

نريد حساب مجموع مربعات الجذور لهذه المعادلة.

1. قانون فيتا (Vieta’s Formula):
   يقول قانون فيتا إنَّ مجموع مربعات الجذور لأي معادلة من الدرجة $n$ يمكن حسابه عبر مشتقة المعادلة ومعاملاتها. لمعادلة درجة $n$، يكون مجموع مربعات الجذور مساويًا للجزء الرئيسي من مشتقة المعادلة مربعًا مقسومًا على معامل الدرجة العليا في المعادلة.

2. حساب المشتقة (Derivative):
   نحتاج إلى حساب المشتقة الأولى للمعادلة بالنسبة للمتغير $x$ للحصول على $f'(x)$.

3. تقييم المشتقة في نقطة (Evaluating the Derivative at a Point):
   نحتاج لتقييم المشتقة في نقطة محددة. في هذه الحالة، نقوم بتقييم المشتقة عند $x = 0$ لأن الهدف هو حساب مجموع مربعات الجذور.

4. حساب القيم الرياضية (Mathematical Computation):
   يتضمن الحل عمليات حسابية بسيطة لتقدير المشتقة في نقطة معينة وتطبيق قانون فيتا للحصول على النتيجة النهائية.

الآن، بالاستفادة من هذه القوانين والمفاهيم، قمنا بحساب المشتقة، وتقييمها في $x = 0$، ومن ثم تطبيق قانون فيتا للحصول على مجموع مربعات الجذور، الذي تبين أنه يساوي 0. وبالتالي، قيمة المتغير $X$ تكون أيضًا 0.