حساب مجموع الصف الثامن في مثلث باسكال (مسألة رياضيات)

في مثلث باسكال، يكون كل رقم مجموع الرقم الذي يقع فوقه وعلى يساره والرقم الذي يقع فوقه وعلى يمينه. لذا، الرقم الأوسط في الصف الثاني هو $2$ لأن $1+1=2.$ السؤال يطلب حساب مجموع الأرقام في الصف الثامن من مثلث باسكال.

الصف الثامن من مثلث باسكال يكون كالتالي:

$1 \quad 7 \quad 21 \quad 35 \quad 35 \quad 21 \quad 7 \quad 1$

لحساب مجموع هذه الأرقام، نقوم بجمعها جميعًا:

$1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1 = 128$

إذاً، مجموع الأرقام في الصف الثامن من مثلث باسكال هو $128.$

لحل مسألة مجموع الأرقام في الصف الثامن من مثلث باسكال، يمكننا الاعتماد على بعض القوانين الرياضية والخصائص المعروفة للثلاثيات العددية في مثلث باسكال. الصفوف في مثلث باسكال تبدأ من الصف الصفري، ونستطيع تحديد قيم الأعداد في الصفوف اللاحقة باستخدام القوانين التالية:

1. القاعدة الرئيسية لمثلث باسكال:
   $\text{{للعدد في الصف }} n \text{{ والعمود }} k: C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)$
   حيث $C(n, k)$ هو العدد في الصف $n$ والعمود $k$.

2. الأعداد في الصفوف الأخرى:

   • العدد في الصف $n$ والعمود $k$ يمثل معامل الطرد الأمامي لتوسيع $(x+y)^n$.
   • يمكن حساب العدد في الصف $n$ والعمود $k$ باستخدام الصيغة:
     $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

لحساب مجموع الأرقام في الصف الثامن، نقوم بجمع قيم الأعداد في هذا الصف. في حالتنا:

$1 + 7 + 21 + 35 + 35 + 21 + 7 + 1$

هذا المجموع يظهر تناظراً في الأعداد حول الوسط، وهذا ناتج من القاعدة الرئيسية لمثلث باسكال. يمكننا أيضاً أن نرى أن القيم في الصف الثامن تتبع نمطاً رياضياً.

المعادلة المتكررة للصف الثامن هي:

$C(8, k) = C(7, k-1) + C(7, k)$

حيث $k$ يتراوح من 1 إلى 7.

باستخدام الصيغة الثنائية لمعامل الطرد الأمامي، يمكننا أيضاً توسيع هذا الصف:

$(x + y)^8 = 1x^8 + 8x^7y + 28x^6y^2 + 56x^5y^3 + 70x^4y^4 + 56x^3y^5 + 28x^2y^6 + 8xy^7 + 1y^8$

حيث تظهر قيم الأعداد في الصف الثامن.