حساب مجموع التربيعات: قاعدة أساسية في الرياضيات (مسألة رياضيات)

مجموع التربيعات لأول 15 عدد صحيح إيجابي (1^2 + 2^2 + 3^2 + … + 15^2) يساوي 1240. ما هو مجموع التربيعات للأعداد الصحيحة الإيجابية الثانية عشرة (16^2 + 17^2 + 18^2 + … + 30^2)؟

الحل:
لحساب مجموع التربيعات للأعداد الصحيحة، يمكننا استخدام القاعدة التالية: مجموع التربيعات لأول n عدد صحيح يُعبَّر عنه بالصيغة التالية:

$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

حيث $S_n$ هو مجموع التربيعات لأول n عدد صحيح.

في هذه الحالة، لدينا $S_{15} = 1240$. الآن نحتاج إلى حساب $S_{30}$ للأعداد الثانية عشرة.

نقوم بتعويض قيمة n بـ 30 في الصيغة:
$S_{30} = \frac{30(30 + 1)(2 \times 30 + 1)}{6}$

بعد الحساب، نحصل على قيمة $S_{30}$.

$S_{30} = \frac{30 \times 31 \times 61}{6}$

الآن يمكننا حساب هذه القيمة للوصول إلى مجموع التربيعات للأعداد الثانية عشرة.

$S_{30} = 30 \times 31 \times 10 = 9300$

إذاً، مجموع التربيعات للأعداد الثانية عشرة (16^2 + 17^2 + 18^2 + … + 30^2) هو 9300.

لحل مسألة مجموع التربيعات، استخدمنا قاعدة مهمة في حساب مجموع التربيعات لأول n عدد صحيح، وهي:

$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$

حيث $S_n$ هو مجموع التربيعات لأول n عدد صحيح. في حلنا لهذه المسألة، كانت قيمة $S_{15}$ معروفة وتساوي 1240. لكن المطلوب كان حساب $S_{30}$ للأعداد الثانية عشرة.

نقوم بتعويض قيمة n بـ 30 في الصيغة:

$S_{30} = \frac{30(30 + 1)(2 \times 30 + 1)}{6}$

هذا يعتمد على القاعدة الأساسية لحساب مجموع التربيعات. لتوضيح الخطوات أكثر، يمكن تفسيرها كما يلي:

1. $n$ تمثل عدد الأعداد التي نريد حساب تربيعاتها.
2. $n + 1$ يمثل العدد التالي بعد n.
3. $2n + 1$ يمثل العدد الفردي الذي يلي n بفردين.

ثم نقوم بضرب هذه الأرقام معًا ونقسم الناتج على 6 للحصول على مجموع التربيعات.

في هذه الحالة، بعد حساباتنا، وجدنا أن $S_{30}$ يساوي 9300. وهذا يعني أن مجموع التربيعات للأعداد الثانية عشرة (16^2 + 17^2 + 18^2 + … + 30^2) هو 9300.

قوانين الجبر والتعبيرات الرياضية المستخدمة هي أساسية في هذا الحل. القاعدة المذكورة أعلاه هي جزء من مجموعة قوانين تستخدم لحساب مجموعات الأعداد وتطبيقاتها الرياضية.