حساب مجموع الباقيات لأول 100 عدد عند قسمتها على 8 (مسألة رياضيات)

مجموع الباقين عند قسمة أول 100 عدد طبيعي على 8 هو ما يُحسب من جمع جميع الباقيات الناتجة عن هذه العمليات القسمة. يمكننا حساب الباقي عند قسمة عدد على 8 عن طريق استخدام الصيغة: الباقي = العدد – (القسمة الصحيح للعدد على 8) * 8.

بتطبيق هذه الصيغة على أول 100 عدد طبيعي، نحصل على الباقي لكل عدد. ثم يتم جمع جميع هذه الباقيات للحصول على المجموع النهائي.

لنبدأ بحساب الباقي لكل عدد:

1. العدد 1: الباقي = 1 – (0 * 8) = 1
2. العدد 2: الباقي = 2 – (0 * 8) = 2
3. العدد 3: الباقي = 3 – (0 * 8) = 3
   …
4. العدد 8: الباقي = 0 – (1 * 8) = 0
5. العدد 9: الباقي = 1 – (1 * 8) = 1
6. العدد 10: الباقي = 2 – (1 * 8) = 2
   …
   وهكذا يتم حساب الباقي لكل عدد من 1 إلى 100.

الآن، لنقم بجمع جميع الباقيات:
المجموع = 1 + 2 + 3 + … + 0 + 1 + 2 + …

لحساب هذا المجموع، يمكننا استخدام القاعدة التي تقول إن مجموع الأعداد من 1 إلى n هو n * (n + 1) / 2. في هذه الحالة، n يمثل عدد الأعداد المتتالية التي نقوم بجمعها، وهو 100 في حالتنا.

المجموع = (100 * 101) / 2

بإجراء الحسابات:
المجموع = 5050

إذاً، مجموع الباقيات عند قسمة أول 100 عدد طبيعي على 8 هو 5050.

لحل مسألة جمع الباقيات عند قسمة أول 100 عدد طبيعي على 8، يمكننا البدء بحساب الباقي لكل عدد باستخدام الصيغة:

$\text{الباقي} = \text{العدد} – (\text{القسمة الصحيح للعدد على 8}) \times 8$

ثم يتم جمع جميع هذه الباقيات للحصول على المجموع النهائي. فيما يلي تفصيل أكثر للحل:

1. حساب الباقي لكل عدد:

   • للعدد 1: $\text{الباقي} = 1 – (0 \times 8) = 1$
   • للعدد 2: $\text{الباقي} = 2 – (0 \times 8) = 2$
   • …
   • للعدد 8: $\text{الباقي} = 0 – (1 \times 8) = 0$
   • للعدد 9: $\text{الباقي} = 1 – (1 \times 8) = 1$
   • وهكذا يتم حساب الباقي لكل الأعداد من 1 إلى 100.

2. جمع الباقيات:

   • المجموع $= 1 + 2 + 3 + \ldots + 0 + 1 + 2 + \ldots$

3. استخدام القاعدة لجمع الأعداد المتتالية:

   • المجموع $= \frac{n \times (n + 1)}{2}$ حيث $n$ هو عدد الأعداد المتتالية التي نقوم بجمعها.

4. تطبيق القاعدة:

   • المجموع $= \frac{100 \times 101}{2}$

5. الحساب النهائي:

   • المجموع $= 5050$

القوانين المستخدمة في الحل:

1. صيغة باقي القسمة:

   • $\text{الباقي} = \text{العدد} – (\text{القسمة الصحيح للعدد على 8}) \times 8$

2. قاعدة جمع الأعداد المتتالية:

   • المجموع $= \frac{n \times (n + 1)}{2}$

3. قاعدة القسمة:

   • القسمة الصحيح للعدد على 8 تعني أن العدد يمكن تمثيله على شكل $8 \times \text{عدد صحيح} + \text{الباقي}$.