حساب مجموع أول 45 أعداد طبيعية

إن مسألتنا تتعلق بحساب مجموع أول 45 عددًا طبيعيًا، ولنقم بصياغة المسألة بشكل توضيحي قبل أن نقدم الحل:

لنفترض أن لدينا سلسلة من الأعداد الطبيعية تبدأ من 1 وتستمر حتى 45. نرغب في حساب مجموع هذه الأعداد. يمكننا استخدام الصيغة العامة لحساب مجموع متتاليات الأعداد الطبيعية والتي تعطى بواسطة الصيغة التالية:

$S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$

حيث:

• $S_n$ هو مجموع المتتالية.
• $n$ هو عدد الأعداد في المتتالية.
• $a_1$ هو العدد الأول في المتتالية.
• $a_n$ هو العدد الأخير في المتتالية.

الآن، لنقم بتطبيق هذه الصيغة على المسألة الحالية:
$S_{45} = \frac{45}{2} \times (1 + 45)$

قم بتبسيط هذه العبارة:
$S_{45} = \frac{45}{2} \times 46$

والآن قم بالحساب:
$S_{45} = 45 \times 23$

أخيرًا، قم بضرب العددين للحصول على الناتج النهائي:
$S_{45} = 1035$

إذا كانت الحسابات صحيحة، فإن مجموع أول 45 عددًا طبيعيًا هو 1035.

بالطبع، دعونا نقوم بتوضيح الحل بشكل أكثر تفصيلاً وذلك باستخدام القوانين والصيغ المستخدمة في الرياضيات. لنحسب مجموع أول 45 عددًا طبيعيًا، نقوم باتباع الخطوات التالية:

1. تحديد المعلومات:

   • $n = 45$ (عدد الأعداد في المتتالية).
   • $a_1 = 1$ (العدد الأول في المتتالية).
   • $a_n = 45$ (العدد الأخير في المتتالية).

2. استخدام الصيغة لحساب مجموع المتتالية:
   نستخدم الصيغة: $S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$

3. تعويض القيم في الصيغة:
   $S_{45} = \frac{45}{2} \times (1 + 45)$

4. التبسيط:
   $S_{45} = \frac{45}{2} \times 46$

5. الحساب:
   $S_{45} = 45 \times 23$

6. الناتج النهائي:
   $S_{45} = 1035$

القوانين المستخدمة:

• صيغة مجموع متتاليات الأعداد الطبيعية: يتم استخدام الصيغة $S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n)$ لحساب مجموع أول $n$ أعداد طبيعية حيث $a_1$ هو العدد الأول و $a_n$ هو العدد الأخير.

• قانون توسيع القوسين والتبسيط: تم استخدام قانون توسيع القوسين لضرب القيم الداخلية، وقانون التبسيط لتبسيط العبارات الرياضية.

• الضرب والجمع: استخدمنا العمليات الأساسية مثل الضرب والجمع للوصول إلى الناتج النهائي.

باستخدام هذه القوانين والصيغ، تم حساب مجموع أول 45 عددًا طبيعيًا بشكل دقيق وفعّال.