حساب مجموع أسس العدد التخيلي i (مسألة رياضيات)

المطلوب حساب مجموع الأعداد $i^{11}$، $i^{16}$، $i^{21}$، $i^{26}$، و $i^{31}$.

لفهم هذه المسألة، يجب أولاً أن نعلم أن $i$ هو الوحدة الخيالية، حيث يتم تعريفها بأنها الجذر التربيعي للعدد -1. وبناءً على هذا التعريف، يمكننا حساب قوى $i$ على النحو التالي:

وهكذا تتكرر الدورة.

الآن، لحساب $i^{11}$، يمكننا تقسيم العدد 11 على 4، حيث يمكننا كتابة $i^{11}$ بشكل مكافئ على النحو التالي:

بناءً على نفس الطريقة، يمكن حساب الأعداد الأخرى:

الآن، يمكننا جمع هذه الأعداد:

إذاً، المجموع المطلوب هو $-2i$.

لحل المسألة واستنتاج المجموع $i^{11} + i^{16} + i^{21} + i^{26} + i^{31}$، يتعين علينا أن نستند إلى قوانين الأسس وقوانين الأعداد التخيلية. سنقوم بتوضيح الخطوات بالتفصيل، مستخدمين القوانين التالية:

1. قانون دورة الأسس:
   $i^n = i^{n \mod 4}$
   حيث يتم تكرار الدورة كل 4 أساسيات.

2. قانون ضرب الأسس:
   $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$
   يستخدم لجمع أو ضرب أسس نفس العدد.

3. قانون الأس السالب:
   $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$
   حيث يمثل $a$ عددًا حقيقيًا أو مختلطًا.

الآن، لنقوم بحساب قيمة كل من $i^{11}$، $i^{16}$، $i^{21}$، $i^{26}$، و $i^{31}$ باستخدام قانون دورة الأسس:

1. حساب $i^{11}$:
   $i^{11} = i^{4 \times 2 + 3} = i^{4 \times 2} \cdot i^3 = 1 \cdot (-i) = -i$

2. حساب $i^{16}$:
   $i^{16} = i^{4 \times 4} = 1$

3. حساب $i^{21}$:
   $i^{21} = i^{4 \times 5 + 1} = i^1 = i$

4. حساب $i^{26}$:
   $i^{26} = i^{4 \times 6} = -1$

5. حساب $i^{31}$:
   $i^{31} = i^{4 \times 7 + 3} = i^3 = -i$

الآن، جمع هذه القيم:

تم استخدام القوانين المذكورة أعلاه لتبسيط عملية حساب الأسس وجمعها. إن استخدام قانون دورة الأسس يسهل حساب القوى العديدة للعدد التخيلي $i$، والقوانين الأخرى تساعد في تبسيط التعابير وإيجاد النتيجة النهائية.