حساب مجاميع الأعداد الزوجية: تطبيقات وصيغ (مسألة رياضيات)

لنعيد صياغة المسألة بشكل مختصر:

“لجميع الأعداد الصحيحة الزوجية n، يُعرف h(n) كمجموع الأعداد الصحيحة الزوجية بين 2 وn، بما في ذلك الرقم n نفسه. ما هو قيمة h(20) / h(10)؟”

الآن سأقدم الحل:

لحساب قيمة h(20)، نقوم بجمع جميع الأعداد الصحيحة الزوجية من 2 إلى 20. هذه الأعداد هي: 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20. الجمع يكون كالتالي:

$h(20) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20$

الآن، لحساب قيمة h(10)، نقوم بجمع الأعداد الصحيحة الزوجية من 2 إلى 10. هذه الأعداد هي: 2، 4، 6، 8، 10. الجمع يكون كالتالي:

$h(10) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10$

الآن، نقوم بحساب قيمة h(20) / h(10):

$\frac{h(20)}{h(10)} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20}{2 + 4 + 6 + 8 + 10}$

بإجراء الجمع، نحصل على القيمة النهائية:

$\frac{h(20)}{h(10)} = \frac{110}{30} = \frac{11}{3}$

إذاً، قيمة $\frac{h(20)}{h(10)}$ هي $\frac{11}{3}$.

سأوضح الحل بشكل مفصل وأشرح القوانين المستخدمة في هذا السياق.

المسألة تتعلق بتعريف دالة $h(n)$ كجمع الأعداد الصحيحة الزوجية بين 2 و $n$، ونطلب حساب النسبة بين قيمتي $h(20)$ و $h(10)$، أي $\frac{h(20)}{h(10)}$.

لحساب قيمة $h(20)$، نقوم بجمع جميع الأعداد الصحيحة الزوجية بين 2 و 20. يمكننا استخدام القاعدة التالية: “مجموع متتالي من الأعداد الصحيحة يُحسب بواسطة الصيغة $\frac{n}{2} \times (a + l)$، حيث $n$ هو عدد الأعداد في المتتالية، $a$ هو العدد الأول، و$l$ هو العدد الأخير”. في هذه الحالة، $n = \frac{20 – 2}{2} + 1 = 10$ (لأن هناك 10 عدد زوجي بين 2 و 20)، $a = 2$، و $l = 20$، لذا:

$h(20) = \frac{10}{2} \times (2 + 20) = 10 \times 22 = 220.$

ثم، نحسب قيمة $h(10)$ باستخدام نفس القاعدة مع قيم $n = \frac{10 – 2}{2} + 1 = 5$، $a = 2$، و $l = 10$، لنحصل على:

$h(10) = \frac{5}{2} \times (2 + 10) = 5 \times 12 = 60.$

الآن، نحسب النسبة المطلوبة:

$\frac{h(20)}{h(10)} = \frac{220}{60} = \frac{11}{3}.$

القوانين المستخدمة هي:

1. قاعدة جمع الأعداد المتتالية.
2. صيغة حساب مجموع متتالي من الأعداد الصحيحة بواسطة $\frac{n}{2} \times (a + l)$.

هذه القوانين تساعد في تبسيط عملية حساب المجاميع في حالة الأعداد الزوجية.