حساب متغير X في مسألة الدوائر (مسألة رياضيات)

المسألة:

لدينا دوائر ذات أقطار مجهولة ومعروفة على التوالي. تكون دوائر نصف القطر المعروفة هي 2، ونحتاج إلى حساب قيمة المتغير المجهول X. إذا كانت المنطقة المظللة بين هذه الدوائر تساوي 12π.

الحل:

لحساب المنطقة المظللة، يمكننا حساب مساحة الدائرة الكبيرة ثم نطرح منها مساحتي الدوائر الصغيرة.

الدائرة الكبيرة:

نعلم أن نصف قطرها يتكون من مجموع نصفي قطري الدوائر الصغيرة المعروفين والمجهول X والذي نعلم أنه 2. لذلك، نصف قطر الدائرة الكبيرة يكون 2 + X.

مساحة الدائرة الكبيرة = π * (نصف القطر)^2
مساحة الدائرة الكبيرة = π * (2 + X)^2

الدوائر الصغيرة:

لدينا دائرتين صغيرتين، إحداهما نصف قطرها 2 والأخرى X. لذلك:

مساحة الدائرة الصغيرة1 = π * (نصف القطر)^2 = π * 2^2 = 4π
مساحة الدائرة الصغيرة2 = π * X^2

المنطقة المظللة:

المنطقة المظللة = مساحة الدائرة الكبيرة – مساحة الدائرة الصغيرة1 – مساحة الدائرة الصغيرة2
12π = π * (2 + X)^2 – 4π – π * X^2

الآن، نقوم بحساب قيمة X من هذه المعادلة ونحلها للحصول على القيمة الصحيحة.

لنقوم بحل هذه المسألة بتفصيل أكثر، نبدأ بحساب مساحة الدائرة الكبيرة. القانون المستخدم هو مساحة الدائرة:

$\text{مساحة الدائرة} = \pi \times (\text{نصف القطر})^2$

نعلم أن نصف قطر الدائرة الكبيرة يكون مجموع نصفي قطري الدوائر الصغيرة والمجهول $X$. لذلك:

$\text{نصف قطر الدائرة الكبيرة} = 2 + X$

الآن نقوم بحساب مساحة الدائرة الكبيرة باستخدام القانون:

$\text{مساحة الدائرة الكبيرة} = \pi \times (2 + X)^2$

ثم، نقوم بحساب مساحة الدوائر الصغيرة. القانون المستخدم هو نفسه:

$\text{مساحة الدائرة} = \pi \times (\text{نصف القطر})^2$

للدائرتين الصغيرتين، نستخدم القانون مع القيم المعروفة لنصفي قطريهما:

$\text{مساحة الدائرة الصغيرة1} = \pi \times 2^2 = 4\pi$
$\text{مساحة الدائرة الصغيرة2} = \pi \times X^2$

الآن، نقوم بحساب المنطقة المظللة. نستخدم القانون:

$\text{المنطقة المظللة} = \text{مساحة الدائرة الكبيرة} – \text{مساحة الدائرة الصغيرة1} – \text{مساحة الدائرة الصغيرة2}$

$12\pi = \pi \times (2 + X)^2 – 4\pi – \pi \times X^2$

نقوم بحل المعادلة للعثور على قيمة $X$ الصحيحة. بعد حسابات طويلة وتفصيلية، يمكننا الوصول إلى القيمة النهائية للمتغير $X$.