حساب لوغاريتم قاعدة 8 للعدد 2 (مسألة رياضيات)

نقوم بتقديم التقييم للتعبير الرياضي $\log_8 2$.

التعبير $\log_8 2$ يعني “اللوغاريتم القاعدي للعدد 2 بالنسبة للقاعدة 8”. يمكن تفسير هذا بالقول إن $8$ مرفوعة إلى أي قوة تساوي $2$ هو الناتج الذي نبحث عنه.

لحساب هذه القيمة، نقوم بتحويل العبارة إلى شكل رياضي يمكننا من حساب اللوغاريتم. نعلم أن $8 = 2^3$، لذا يمكننا كتابة $\log_8 2$ على أنها $\log_{2^3} 2$.

وباستخدام خاصية اللوغاريتم، يمكننا تبسيط هذا العبارة إلى $\frac{\log_2 2}{3}$.

ونعلم أن $\log_a a = 1$ لأن أي عدد مرفوع إلى اللوغاريتم الخاص به يكون يساوي القاعدة نفسها. إذاً، $\frac{\log_2 2}{3} = \frac{1}{3}$.

إذاً، التقييم النهائي للتعبير $\log_8 2$ هو $\frac{1}{3}$.

بالطبع، دعونا نقوم بفحص التفاصيل الأكثر دقة في حل مسألة $\log_8 2$ وذلك باستخدام القوانين المناسبة لحساب اللوغاريتم.

المسألة تعبر عن اللوغاريتم الطبيعي للعدد 2 بالنسبة للقاعدة 8، وهي عبارة عن السؤال عن الأس الذي يجعل $8$ مرفوعة إلى تلك القوة تكون تساوي $2$. يمكن كتابة العبارة بشكل رياضي على النحو التالي:

$\log_8 2$

لحساب هذا اللوغاريتم، نستفيد من قاعدة التبديل في اللوغاريتم، حيث يمكن تحويله إلى قاعدة عددية أخرى، وذلك باستخدام القاعدة:

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

حيث يمكن اختيار أي قاعدة لللوغاريتم، وفي هذه الحالة سنختار قاعدة 2. لذا، يمكن كتابة $\log_8 2$ على النحو التالي:

$\log_8 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 8}$

الآن، نعلم أن $8$ يمكن تعبيره على أنه $2^3$، لذا:

$\log_8 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 (2^3)}$

نستفيد من قاعدة اللوغاريتم التي تقول $\log_a a^n = n$:

$\log_8 2 = \frac{\log_2 2}{3 \cdot \log_2 2}$

وهنا يمكن إلغاء اللوغاريتم في البسط والمقام:

$\log_8 2 = \frac{1}{3}$

لذا، تم حساب قيمة $\log_8 2$ وهي $\frac{1}{3}$. يتمثل الحل في استخدام قوانين اللوغاريتم وخصائصها لتبسيط العبارة والوصول إلى الإجابة النهائية.