حساب لوغاريتم بقاعدة معكوسة (مسألة رياضيات)

المسألة الرياضية هي: “قيمة تعبير لوغاريتم التي تحمل القاعدة $\frac{1}{3}$ من العدد 9”.

الحل:
لنقم بتفسير العملية بشكل مفصل. نعلم أن لوغاريتم قاعدتها $\frac{1}{3}$ هو العدد الذي يجب أن يرفع $\frac{1}{3}$ إلى القوة من أجل الحصول على العدد الأساسي الذي يساوي 9.

لنستخدم العلاقة التالية: إذا كان $\log_a b = c$، فإنه ينطبق أن $a^c = b$.
بمعنى آخر، إذا كان لدينا لوغاريتم قاعدته $a$ للعدد $b$ يساوي $c$، فإننا نعرف أن $a$ مرفوعة للقوة $c$ تساوي $b$.

بما أننا نريد حساب $\log_\frac{1}{3}9$، فإننا نريد أن نجد العدد الذي يجب رفع $\frac{1}{3}$ إليه للحصول على 9.

لذلك، نستخدم العلاقة التي ذكرناها:
$\log_\frac{1}{3}9 = c$ يعني أن $\left(\frac{1}{3}\right)^c = 9$.

الآن، نريد حساب القيمة المناسبة لـ $c$، لذا نقوم بتجريب الأسس حتى نحصل على 9:
$\left(\frac{1}{3}\right)^1 = \frac{1}{3}$ – ليس 9.
$\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ – ليس 9.
$\left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$ – ليس 9.

لاحظ أن كلما زادت الأس، تناقصت القيمة. ولكن عندما نضع 3 في القوس نحصل على 9:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$.

لذا، القيمة المطلوبة هي $-2$. إذاً:
$\log_\frac{1}{3}9 = -2$.

لحل مسألة $\log_{\frac{1}{3}} 9$، نحتاج إلى فهم عدة مفاهيم في اللوغاريتم وقوانينه المهمة. اللوغاريتم هو عملية رياضية ترتبط بالأسس والقوى، وتساعد في حساب الأسس المجهولة عندما يعطى الناتج.

أولاً، نستخدم قاعدة اللوغاريتم التي تقول:
إذا كان $\log_a b = c$، فإن $a^c = b$.
وهذا يعني أن اللوغاريتم بقاعدة $a$ للعدد $b$ يساوي $c$ تعني أن $a$ مرفوعة للقوة $c$ تساوي $b$.

في هذه المسألة، نحن نبحث عن اللوغاريتم بقاعدة $\frac{1}{3}$ للعدد 9، أي $\log_{\frac{1}{3}} 9 = c$.

ثانياً، لحساب قيمة $c$، نقوم بتجريب الأسس. نبدأ بتجريب الأسس الصغيرة ونزيد تدريجياً حتى نحصل على القيمة المطلوبة.
نستخدم القاعدة التالية:
$\left(\frac{1}{3}\right)^{-n} = 3^n$.

بما أننا نريد أن نحصل على 9، فإننا نبدأ بتجريب الأس السالب، حيث أن $\frac{1}{3}$ مرفوعة للقوة السالبة تعطي أعداد أكبر.

قوانين الأسس واللوغاريتم هي:

1. $a^m \times a^n = a^{m+n}$.
2. $a^m \div a^n = a^{m-n}$.
3. $(a^m)^n = a^{mn}$.
4. $(ab)^n = a^n \times b^n$.
5. $a^0 = 1$ (عندما يكون الأس صفراً، فإن الناتج يكون واحداً).

باستخدام هذه القوانين، نجد أن القيمة المطلوبة هي $-2$، لأن $\left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 9$.
وبالتالي:
$\log_{\frac{1}{3}} 9 = -2$