قيمة $\log_{10}{579}$ بين الأعداد الصحيحة المتتالية $a$ و $b$. ابحث عن $a+b$.
لحل هذه المسألة، سنستخدم خاصية اللوغاريتمات وقوانين الأسس. نبدأ بتقريب القيمة للوغاريتم بين $579$ وقيمتين متتاليتين للأسس.
للعثور على الأعداد الصحيحة $a$ و $b$، سنستخدم الخاصية التالية:
إذا كان $x$ عدد حقيقي موجب، فإن $\lfloor \log_{10}{x} \rfloor$ هو أكبر عدد صحيح يقل عن $\log_{10}{x}$.
نبدأ بتقريب $\log_{10}{579}$ بالقرب من الأعداد الصحيحة.
لو كان $a$ هو العدد الصحيح الذي يقل عن $\log_{10}{579}$، فسيكون $a=\lfloor \log_{10}{579} \rfloor$.
لذا، $a = \lfloor \log_{10}{579} \rfloor$ و $b = \lfloor \log_{10}{579} \rfloor + 1$.
الآن، نقوم بحساب $\log_{10}{579}$ باستخدام الحسابات:
$\log_{10}{579} \approx \log_{10}{500} = 2.69897$.
بما أن $\lfloor \log_{10}{579} \rfloor = 2$، فإن القيمة المقربة لـ $\log_{10}{579}$ هي بين $2$ و $3$.
لذا، $a = 2$ و $b = 3$.
نجمع القيمتين للحصول على الإجابة النهائية:
$a + b = 2 + 3 = 5$.
إذاً، $a + b = 5$.
المزيد من المعلومات
لحل المسألة، نستخدم قوانين اللوغاريتمات ومفهوم الأعداد الصحيحة المتتالية.
-
قوانين اللوغاريتمات:
- قاعدة اللوغاريتم: $\log_{a}{b^c} = c \cdot \log_{a}{b}$.
- لوغاريتم الأس الطبيعي: $\log_{a}{a} = 1$.
- لوغاريتم العدد $1$: $\log_{a}{1} = 0$.
-
مفهوم الأعداد الصحيحة المتتالية:
- $\lfloor x \rfloor$ تمثل أكبر عدد صحيح أصغر من $x$.
الخطوات:
أولاً، نقوم بتقريب قيمة $\log_{10}{579}$ باستخدام القاعدة الثانية للوغاريتم، حيث يتم تقريب الرقم 579 إلى أقرب قوة للعشرة:
$\log_{10}{579} \approx \log_{10}{500}$.
نستخدم قوانين اللوغاريتمات لتبسيط $\log_{10}{500}$، والذي يكون مساويًا لـ $\log_{10}{5} + \log_{10}{100}$.
حيث:
- $\log_{10}{5}$ هو جزء العشرية.
- $\log_{10}{100}$ يكون 2، لأن $10^2 = 100$.
يصبح بالتالي:
$\log_{10}{500} = \log_{10}{5} + \log_{10}{100} = 2 + \log_{10}{5}$.
الآن نستخدم القاعدة الأولى للوغاريتم ونعتبر $\log_{10}{5}$ كقيمة مقربة، وهي تتراوح بين 0 و 1.
يتضح أن $\lfloor \log_{10}{579} \rfloor = 2$، لأن القيمة المقربة لـ $\log_{10}{579}$ تقع بين 2 و 3.
بالتالي، الأعداد الصحيحة المتتالية هي $2$ و $3$، وبجمعهما نحصل على الجواب: $a + b = 2 + 3 = 5$.