حساب كتلة الإنسان بناءً على انخفاض القارب (مسألة رياضيات)

المسألة:

قارب طوله 7 متر وعرضه 3 أمتار يطفو على بحيرة. يغرق القارب بمقدار سنتيمتر واحد عندما يتسلق رجل عليه. العثور على كتلة الرجل.

الحل:

لحل هذه المسألة، نستخدم مفهوم كمية الماء التي تنزلق إلى القارب عندما يدخل الرجل عليه. يمكننا حساب حجم الكتلة التي دخلت القارب بمعرفة الفرق في حجم الغمر قبل وبعد دخول الرجل.

حجم الغمر الأصلي للقارب:
$V_1 = الطول \times العرض \times الغمر$

حجم الغمر بعد دخول الرجل:
$V_2 = الطول \times العرض \times (الغمر – الانخفاض)$

إذاً، حجم الكتلة التي دخلت مع الرجل:
$\Delta V = V_1 – V_2$

نعرف أن $\Delta V$ يتناسب مع كتلة الماء المضافة، ونستخدم كثافة الماء ($\rho$) لتحويلها إلى كتلة:

$\Delta m = \rho \times \Delta V$

يمكننا استخدام القيم المعطاة في المسألة لحساب الكتلة.

لحل هذه المسألة، سنستخدم قانون أرخبيل السوائل (أو قانون باسكال)، الذي ينص على أن الضغط في نقطة ما في سائل ينقص بمقدار كمية تسمى الزيادة في الضغط ($\Delta P$) وهي ناتج الكثافة ($\rho$) للسائل وتسارع الجاذبية ($g$) والارتفاع ($\Delta h$).

القانون:

$P_2 = P_1 + \rho g \Delta h$

حيث:

• $P_2$ هو الضغط بعد دخول الرجل على القارب.
• $P_1$ هو الضغط الأصلي للماء في البحيرة.
• $\rho$ هي كثافة الماء.
• $g$ هو تسارع الجاذبية.
• $\Delta h$ هو الارتفاع الذي يغرق فيه القارب بعد دخول الرجل.

نريد حساب $\Delta h$ الذي يعتبر في هذه الحالة هو الغمر الذي يحدث عندما يدخل الرجل على القارب. يتم حساب هذا الارتفاع باختلاف حجم الغمر قبل وبعد دخول الرجل، كما هو موضح في الرد السابق.

بمعرفة $\Delta h$، يمكننا استخدامها في القانون لحساب كتلة الرجل. يجب أن نأخذ في اعتبارنا أن القارب يغرق بسمك 1 سم، وبالتالي:

$\Delta h = الغمر – الانخفاض = 1 \, سم$

الآن نقوم بحساب الضغط الجديد $P_2$ باستخدام القانون المذكور:

$P_2 = P_1 + \rho g \Delta h$

ثم نستخدم الضغط الجديد لحساب حجم الكتلة التي دخلت القارب باستخدام القانون:

$\Delta m = \rho \Delta V$

هنا، نستخدم قانون كمية الماء المنزلقة ($\Delta V$) والتي تعتبر فارق الحجم بين حالتي القارب قبل وبعد دخول الرجل.

تلخيص القوانين:

1. قانون أرخبيل السوائل لحساب زيادة الضغط.
2. قانون كمية الماء المنزلقة لحساب حجم الكتلة التي دخلت القارب.